12. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе

Для расчета температурных полей при всех случаях необходимо задавать граничные условия. В дипломном проекте мы будем использовать граничные условия первого рода (а), второго рода (б), третьего рода (в), которые схематично показаны ниже

Рассмотрим одномерный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности. Поперечное сечение стержня мало, поэтому можно пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси x, направленной по длине стержня.

Постановка задачи.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

• материал стержня – сталь;

• температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=100 ⁰С и α1=1500 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=20⁰С и α2=30 Вт/м^{2 0}С;

• длина стержня L = 0,09 м;

• коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 50 Вт/м ⁰С;

• площадь поперечного сечения S = 3,14∙10^-4 м²;

• плотность стали ρ = 7800 кг/м³;

• теплоемкость с=460 Дж/кг⁰С;

• расстояние h между узлами равно 0,01 м.

Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.1 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).

а)

б)

Рисунок 1. Стержень, теплоизолированный с боковой поверхности (а) и его тепловая схема (б)

Составим матрицу инциденции A, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 10*11:

Матрица проводимостей G имеет размерность 11*11, является диагональной:

Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:

где S – площадь сечения стержня, м²;

ρ – плотность стали, кг/м³;

с – теплоемкость стали;

h – расстояние между границами объема, м.

Строим матрицу C:

Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:

Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы имеет вид:

Уравнение является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.

Примем начальные температуры в узлах равными 0 ⁰С, т.е.

Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения

где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна ;

с начальным условием

T(0)=T₀,

Для решения нестационарного матричного уравнения с начальным условием используем явный метод Эйлера. Явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:

где m – номер итерации;

τ – шаг по времени;

E – диагональная единичная матрица;

Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна

В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры T_m в следующий момент времени t_m находится пересчетом по формуле на основании известного значения температуры T_m-1 в предыдущий момент времени t_m-1.

Зададим дополнительные условия для решения задачи:

10. шаг по времени τ = 2;

11. максимальное время M = 100 с.;

12. условие m…M;

Подставив все известные величины в уравнение, найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:

.

Рисунок 2. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.