- •Оглавление (пример)
- •Тепловая схема с теплообменом с боковой поверхности
- •2. Одномерный составной стержень, с теплообменом с боковой поверхности с внутренним источником теплоты
- •3. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •Двумерная пластина с теплообменом со средой
- •5. Составной стержневой термодинамический элемент
- •6. Двумерное растекание теплоты на границе двух материалов
- •7. Двумерное растекание теплоты в области со сложной границей
- •8. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •10. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •11. Тепловая схема составного стержня
- •Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •13. Тепловая схема однородного стержня
- •14.Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности.
- •15. Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности
- •Список использованной литературы
2. Одномерный составной стержень, с теплообменом с боковой поверхности с внутренним источником теплоты
Возьмем стержень длиной l, с боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой, состоящий из трех кусков (рис.4.4.) с коэффициентами теплопроводности λ1 λ2 λ3 (алюминий, медь, серебро), длиной l1, l2, l3 (l1+ l2+ l3 =l). По стержню пускается электрический ток силой I.
Рис.4. Одномерный составной стержень с внутренним источником теплоты, с боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой
Введем данные, необходимые для расчета стержня:
Длина: l=0.16m;
Сила тока: I=1A;
Температуры среды: Ta вх=300 0С, Ta нар=500С, Та вых=60 0С;
Площадь поперечного сечения: А0=3,14*0,022;
Коэффициенты теплоотдачи:
C левого торца стержня: α1=10000 ;
У боковой поверхности: α2=100 ;
У правого торца стержня: α1=10000 ;
Удельные сопротивления и коэффициенты теплопроводности проводников:
ρ1=0.028 , λ=20 (алюминий)
ρ1=0,017 , λ1=39 (медь)
ρ1=0,016 , λ1=40 (серебро)
Запишем формулы для объемных плотностей внутренних источников теплоты, обусловленных эффектом Джоуля при прохождении электрического тока:
Независимые источники внутренних тепловых потоков равны:
Изобразим тепловую схему для одномерного составного стержня:
Рис. 5. Тепловая схема одномерного составного стержня
На тепловой схеме нумеруем узлы в произвольном порядке. Узлы между последовательно соединенными тепловыми проводимостями и источниками заданных температур не вводятся. Обозначим число узлов N.
Нумеруем в произвольном порядке ветви тепловой схемы, но только те, которые имеют тепловые проводимости и ветви, с последовательно соединенными проводимостями и источниками заданных температур. Обозначим число таких ветвей М.
Обозначим направления тепловых потоков на рисунке 6.
Рис.6. Направления тепловых потоков по стержню
Запишем баланс потоков теплоты протекающих в ветвях стержня:
т.1) Q1+Q2+Q11+Q12=0
т.2) –Q2+Q3+Q13+Q14=0
т.3) –Q3+Q4+Q15+Q16=0
т.4) –Q4+Q5+Q17+Q18=0
т.5) –Q5+Q6+Q19+Q20=0
т.6) –Q6+Q7+Q21+Q22=0
т.7) –Q7+Q8+Q23+Q24=0
т.8) –Q8+Q9+Q25+Q26=0
т.9) –Q9+Q10+Q27+Q28=0
Тепловой поток Q берем со знаком: “+”, если он выходит из узла; “- “, если поток входит в узел.
Составляем матрицу инциденции А, число строк которой равно N, а число столбцов равно М. Элемент i матрицы А равен: +1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви выходит из i-го узла; -1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви входит в i-й узел; 0, если ветвь q не соединена с узлом i.
Составляем матрицу проводимостей G, число строк и столбцов которой равно М. Матрица G диагональная и ее диагональные элементы ii равны тепловым проводимостям ветвей gi, i=1,2,…,М.
Разность температуры ΔТi в i-й ветви, включенной между узлами 1 и 2 равна ΔТi = T1 – T2 (поток теплоты направлен от узла 1 к узлу 2). Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора столбца ΔТ.
Далее составляется вектор – столбец Та известных температур в независимых источниках температур, с числом элементов равным М. Элемент i вектора – столбца Та равен: нулю, если данная ветвь i не содержит источника температуры; заданной температуре Tai, если ветвь i содержит источник температуры Tai. Если направление потока в ветви соответствует положительному направлению, то величина Tai , берется со знаком (+), если отрицательному – со знаком (-).
Вектор-столбец независимых источников тепловых потоков равен:
Вектор – столбец неизвестных температур в узлах тепловой схемы
определяется матричным уравнением:
AGATT=Q+AGTa
т.к. матрицы А,G,AT известны, то заменим их одним символом:
тогда окончательный вид уравнения для расчета температур в узлах стержня примет вид:
Математическая программа Mathcad автоматически выводит результат расчета в виде матрицы.