6. Двумерное растекание теплоты на границе двух материалов

Расс­мотрим растекание потока теплоты вдоль прямой границы, разделяющей два материала. Разобьем область на конечные объемы. В области границы раз­дела двух материалов конечные объемы расположим так, чтобы их внутренние узлы, лежащие в их центре, принадлежали границе раздела. Область контакта двух материалов (а), ее разбиение на конечные объемы, расположение узлов и тепловая схема (б) представлены на рис. 6.

а) б)

Рисунок 6. Область контакта двух материалов ее разбиение на конечные объемы (а), тепловая схема (б).

Постановка задачи.

Примем следующие начальные данные:

• температуры: Та1=400 ⁰С; Та2=50 ⁰С; Та3=500 ⁰С; Та4=60 ⁰С;

• теплопроводности материалов: λ₁= 50 Вт/м ⁰С; λ₂= 30 Вт/м ⁰С;

• длины, м: L1=0,2; L2=0,4;

• расстояние Δh = 0,1 м;

• толщина материалов δ=0,02 м.

Решение задачи.

Составим матрицу инциденции А, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 3*14:

(31)

Вектор-столбец известных температур в ветвях тепловой схемы равен:

Тепловые кондуктивные проводимости тепловой схемы равны:

; ;

; .

Строим диагональную матрицу G, которая имеет размерность 14*14:

Согласно уравнению (6) выражаем Т и находим распределение температуры на границе двух материалов:

7. Двумерное растекание теплоты в области со сложной границей

Ра­ссмотрим одномерную область, имеющую прямоугольный вырез (рис. 3.8), и проведем анализ растекания потока теплоты в районе угла выреза.

Постановка задачи.

Для решения задачи необходимо принять следующие начальные данные:

1. граничные условия 3 рода;

2. температуры: Та1=800 ⁰С; Та2=50 ⁰С; Та3=30 ⁰С;

3. коэффициент теплопроводности материала λ= 0,8 Вт/м ⁰С;

4. коэффициенты теплоотдачи α₁=70 Вт/м ^{2 0}С, α₂=100 Вт/м ^{2 0}С;

5. толщина материала δ=0,05 м;

Рисунок 7. Одномерная область, имеющая прямоугольный вырез (а).

Решение задачи.

Разобьем область на конечные объемы, в центре которых расположены узлы. Пронумеруем узлы от 1 до 15 как показано на рис. 7. Составим уравнения баланса потоков теплоты для каждого из узлов:

(32)

Согласно уравнению (32) строим матрицу инциденции A, которая в данной задаче имеет размерность 15*32:

Для того чтобы составить из двух или более матриц одну, в MathCAD предусмотрены две матричные функции:

augment – матрица, сформированная слиянием матриц-аргументов слева направо;

stack - матрица, сформированная слиянием матриц-аргументов сверху вниз.

Используя функцию augment, объединим матрицы A1, A2, A3 и A4 в одну, записав следующее:

A11=augment (A1, A2, A3, A4) (33)

Затем составим вторую часть матрицы A.

Объединим матрицы в одну:

A22= augment (A5, A6, A7, A8) (34)

Окончательная матрица A образуется в результате слияния матриц A11 и A22 при помощи функции stack:

A=stack (A11, A22) (35)

Построим матрицу проводимостей G размерностью 32*32:

, ,

, ,

.

Используя функцию augment, объединим матрицы в одну, записав следующее:

G11=augment (G1, G5, G5, G5)

G22=augment (G5, G2, G5, G5)

G33=augment (G5, G5, G3, G5)

G44=augment (G5, G5, G5, G4)

Затем, чтобы получить окончательную матрицу G, необходимо воспользоваться функцией stack и объединить матрицы G11, G22, G33, G44:

G=stack (G11, G22, G33, G44).

Вектор-столбец известных температур в ветвях тепловой схемы равен:

Примем В=АGA^T и выразив Т, представим (6) в виде следующего выражения:

Т= В^-1∙A∙G∙T_a

Подставив все известные величины в выражение (6) находим распределение температур в узлах:

.