13. Тепловая схема однородного стержня

Рассмотрим одномерный стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня.

Постановка задачи. Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

• температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=400 ⁰С и α1=5 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=100⁰С и α2=20 Вт/м^{2 0}С;

• длина стержня L равна 200 мм;

• теплопроводность стержня λ = 0,1 Вт/м ⁰С;

• радиус стержневого элемента r= 5 мм.

Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на три конечных объема длиной Δx=0.01мм и площадью сечения A, равной площади поперечного сечения стержня. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.1.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.1. от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 3 (на правом торце стержня).

а)

б)

Рисунок 1. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы (а) и его тепловая схема (б)

Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовав­шись интегральным уравнением теплового баланса

(1)

где Vi = A∆xi – объем i-го элемента;

S_i – площадь всей поверхности выде­ленного i-го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему.

Поверхностный интеграл в левой части уравнения (1.1) выражает суммар­ный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учи­тывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направле­нии перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой по­верхности стержень) можно записать, например, для узла 2, что

(2)

где J₂ и J₃ - тепловые потоки на левой и павой границах выделенного объема.

За положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового по­тока.

Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 и внутренние источники теплоты отсутствуют, то уравнение (1) принимает следующий вид:

(3)

Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:

(4)

где R1, R2, R3, R4 – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами.

Баланс потоков теплоты, протекающих в ветвях соединенных с узлами 1, 2, 3 выражаются следующими уравнениями

(5)

Ориентированный граф тепловой схемы представлен на рис.2. Номера ветвей указаны в кружках.

Рисунок.2. Ориентированный граф тепловой схемы

В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.

(6)

Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4||^Т, систему уравнений можно записать в матричном виде

AJ=0 (7)

Матрица A называется матрицей инциденции, для рассматриваемого случая имеет размерность 3*4 и равна:

(8)

Уравнение (7) является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа и расположены согласно их номерам от 1 до 3 сверху вниз, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме.

Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца ΔT:

(9)

Введя вектор столбец температур узлов графа

(10)

простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец (9) можно записать в следующем матричном виде:

(11)

(12)

где - вектор-столбец известных температур в ветвях 1 и 4 тепловой схемы.

Сравнение матрицы инциденций A (8) и матрицы в соотношении (11) показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна А^Т, поэтому вектор-столбец ΔТ (9) в соотношении (11) можно записать в матричном виде через транспонированную матрицу инциденций А^Т, т.е.

ΔТ=А^ТТ (13)

Полученные матрично-топологические соотношения (7) и (9) устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы.

Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа.

Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями.

Выше было показано, что тепловой поток J_i в i-ой ветви равен J_i=g_iΔT_i.

Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде:

(14)

где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа.

Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость g_i (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен g_i.

Конвективные тепловые проводимости с торцов стержня, которые входят в ветви с номерами 1 и 4 равны соответственно и .

Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят в ветви с номерами 2 и 3 равны и

Строим матрицу проводимостей G:

(15)

Введем матрицу B, которая находится по формуле:

(16)

где А^Т – транспонированная матрица А.

(17)

Подставляя выражения (8), (12), (15) и (16) в уравнение (18)

(18)

находим искомые температуры в узлах стержневого элемента.

(19)

Отсюда температуры равны: Т1=373.3 ⁰С; Т2=240 ⁰С; Т3=106.7 ⁰С.

Распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе представлены на рис.3

Рисунок.3. График распределения температур по длине одномерного стержня