- •Оглавление (пример)
- •Тепловая схема с теплообменом с боковой поверхности
- •2. Одномерный составной стержень, с теплообменом с боковой поверхности с внутренним источником теплоты
- •3. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •Двумерная пластина с теплообменом со средой
- •5. Составной стержневой термодинамический элемент
- •6. Двумерное растекание теплоты на границе двух материалов
- •7. Двумерное растекание теплоты в области со сложной границей
- •8. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •10. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •11. Тепловая схема составного стержня
- •Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
- •13. Тепловая схема однородного стержня
- •14.Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности.
- •15. Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности
- •Список использованной литературы
3. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе
Дан одномерный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности. Поперечное сечение стержня мало, поэтому можно пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси x, направленной по длине стержня.
Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:
материал стержня – сталь;
температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=100 0С и α1=1000 Вт/м2 0С, со стороны правой – Та2=200С и α2=50 Вт/м2 0С;
длина стержня L = 0,09 м;
коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 50 Вт/м 0С;
площадь поперечного сечения A = 3,14∙10-4 м2;
плотность стали ρ = 7800 кг/м3;
теплоемкость с=460 Дж/кг0С;
расстояние h между узлами равно 0,01 м.
Решение задачи.
Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис. 4. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.4 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).
Рисунок 7. Стержень, с теплообменом с боковой поверхности
Составим матрицу инциденции A, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 10*11:
Матрица проводимостей G имеет размерность 11*11, является диагональной:
Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:
,
где A – площадь сечения стержня, м2;
ρ – плотность стали, кг/м3;
с – теплоемкость стали;
h – расстояние между границами объема, м.
Строим матрицу C:
Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:
Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы имеет вид:
Уравнение (6) является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.
Примем начальные температуры в узлах равными 0 0С, т.е.
Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения
где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна ;
с начальным условием
T(0)=T0,
Для решения нестационарного матричного уравнения (2.7) с начальным условием (2.8) используем явный метод Эйлера. Явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:
где m – номер итерации;
τ – шаг по времени;
E – диагональная единичная матрица;
Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна
В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры Tm в следующий момент времени tm находится пересчетом по формуле (9) на основании известного значения температуры Tm-1 в предыдущий момент времени tm-1.
Зададим дополнительные условия для решения задачи:
шаг по времени τ = 2;
максимальное время M = 100 с.;
условие m…M;
Подставив все известные величины в уравнение (9), найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:
.
Рисунок 8. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.