15. Однородный стержневой элемент, теплоизолированный с боковой поверхности

Рассмотрим одномерный стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня.

Постановка задачи.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

• температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=300 ⁰С и α1=5 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=0⁰С и α2=20 Вт/м^{2 0}С;

• длина стержня L равна 20 мм;

• теплопроводность стержня λ = 0,1 Вт/м ⁰С;

• радиус стержневого элемента r= 5 мм.

Решение задачи.

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на три конечных объема длиной Δx=0.01м и площадью сечения S, равной площади поперечного сечения стержня. Соответствующая тепловая схема приведена на рис 1.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис 1.1 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 3 (на правом торце стержня).

а)

б)

Рисунок 3. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы (а) и его тепловая схема (б)

Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовав­шись интегральным уравнением теплового баланса

где Vi = S∆xi – объем i-го элемента;

S*_i- площадь всей поверхности выделенного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему.

Поверхностный интеграл в левой части уравнения выражает суммар­ный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учи­тывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направле­нии перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой по­верхности стержень) можно записать, например, для узла 2, что

где J₂ и J₃ - тепловые потоки на левой и правой границах выделенного объема.

За положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового по­тока.

Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 и внутренние источники теплоты отсутствуют, то уравнение принимает следующий вид:

Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:

где R1, R2, R3, R4 – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами.

Баланс потоков теплоты, протекающих в ветвях соединенных с узлами 1, 2, 3 выражаются следующими уравнениями

Ориентированный граф тепловой схемы представлен на рис.4. Номера ветвей указаны в кружках.

Рисунок 4. Ориентированный граф тепловой схемы

В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.

Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4||^Т, систему уравнений можно записать в матричном виде

AJ=0

Матрица A называется матрицей инциденции, для рассматриваемого случая имеет размерность 3*4 и равна:

Уравнение является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа и расположены согласно их номерам от 1 до 3 сверху вниз, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме.

Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца ΔT:

Введя вектор столбец температур узлов графа

простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец можно записать в следующем матричном виде:

где - вектор-столбец известных температур в ветвях 1 и 4 тепловой схемы.

Сравнение матрицы инциденций A и матрицы в соотношении показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна А^Т, поэтому вектор-столбец ΔТ в соотношении можно записать в матричном виде через транспонированную матрицу инциденций А^Т, т.е.

ΔТ=А^ТТ

Полученные матрично-топологические соотношения и устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы.

Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа.

Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями.

Выше было показано, что тепловой поток J_i в i-ой ветви равен J_i=g_iΔT_i.

Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде:

где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа.

Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость g_i (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен g_i.

Конвективные тепловые проводимости с торцов стержня, которые входят в ветви с номерами 1 и 4 равны соответственно и .

Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят в ветви с номерами 2 и 3 равны и

Строим матрицу проводимостей G:

Введем матрицу B, которая находится по формуле:

где А^Т – транспонированная матрица А.

Подставляя выражения (1.8), (1.12), (1.15) и (1.16) в уравнение (1.18)

находим искомые температуры в узлах стержневого элемента.

Отсюда температуры равны:Т1=166.7 ⁰С; Т2=100 ⁰С; Т3=33.3 ⁰С.

Распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе представлены на рис. 5.

Рисунок 5. График распределения температур по длине одномерного стержня