4. Двумерная пластина с теплообменом со средой

Рассмотрим двумерную пластину, пренебрегаем изменением температуры по ее толщине. В этом случае, температурное поле пластины является двумерным и изменяется только по оси х и у.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах пластины происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

• температуры сред и коэффициенты теплоотдачи со сторон границ пластины соответственно равны: Та1=400 ⁰С, Та2=50 ⁰С, Та3=500 ⁰С, Та4=60 ⁰С,α1=3000 Вт/м^{2 0}С, α2=60 Вт/м^{2 0}С, α3=100 Вт/м^{2 0}С, α4=2000 Вт/м^{2 0}С;

• длина пластины L равна 80 мм;

• теплопроводности материалов λ1 = 50 Вт/м ⁰С, λ2 =30 Вт/м ⁰С,

λ3 = 390 Вт/м ⁰С, λ4 = 400 Вт/м ⁰С;

• А0=0.0004 м² ;

Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовав­шись интегральным уравнением теплового баланса

где Vi = A∆xi – объем i-го элемента;

S_i- площадь всей поверхности выде­ленного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему.

Поверхностный интеграл в левой части уравнения (3.3.1) выражает суммар­ный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0

Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:

где R – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами и рассчитываются и соответствуют кондуктивной проводимости

А на границе материалов тепловые сопротивления рассчитываются как ,где λi и λg-коэффициенты теплопроводности граничащих материалов.

Конвективные тепловые проводимости, которые входят в ветви .

Соответственно тепловые проводимости равны

g1=1.2; g2=0.5; g3=0.5; g4=0.024; g5=0.3; g6=0.4; g7=0.024; g8=0.04; g9=0.3; g10=0.024; g11=1.2; g12=2.2; g13=3.9; g14=1.15; g15=2.95; g16=0.04; g17=2; g18=1.2; g19=3.9; g20=0.8; g21=2; g22=0.8; g23=0.04; g24=0.8

В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.

Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4 J5 …… J24||^Т, систему уравнений можно записать в матричном виде

AJ=0

Матрица A называется матрицей инциденций, для рассматриваемого случая имеет размерность 9*24 и равна:

Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment

Уравнение является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме.

Вводим вектор столбец температур узлов графа

Сравнение матрицы инциденций A и матрицы показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна

ΔТ=А^ТТ

Полученные матрично-топологические соотношения устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы.

Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа.

Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями.

Выше было показано, что тепловой поток J_i в i-ой ветви равен J_i=g_iΔT_i.

Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде:

,

где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа.

Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость g_i (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен g_i.

Строим матрицу проводимостей G:

Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment и сложения по вертикали с помощью функции stack.

Строим новую матричную функцию:

_{-вектор – столбец начальных температур в момент времени равный нулю в узлах тепловой схемы.}

Подставляя в уравнение, находим искомые температуры в узлах стержневого элемента

Т1=402.253⁰С

Т2=399.665⁰С

Т3=379.652⁰С

Т4=426.676⁰С

Т5=431.819⁰С

Т6=429.166⁰С

Т7=435.115⁰С

Т8=441.048⁰С

Т9=442.65⁰С

Рисунок 9. График распределения температур полученный в программе MathCAD