12.1.Етапи математичного моделювання

Можна видiлити три етапи вивчення якого - небудь процесу за допомогою математичного моделювання.

I етап - створення основи математичної моделi. Для цього потрiбно:

• накопичити експериментальнi данi про процеси в системі, що вивчається;

• скласти рiвняння чи схему рiвнянь, які будуть описувати вiдомi факти;

II етап - перевiрка та корегування моделi. Для цього потрiбно:

• знайти числові значення коефiцiєнтiв та задати початковi умови;

• розв’язати систему рiвнянь;

• порiвняти отриманий розв’язок із даними експерименту та виявити розбiжностi, визначити їх причини;

• ввести виправлення в математичну модель.

III етап - дослiдження математичної моделi, тобто використання її на практиці. Кiнцевою метою цього етапу є отримання нової iнформацiї про об’єкт, що вивчається.

12.2. Математична модель “ Хижаки - жертви”

Уперше в бiологiї математичну модель перiодичної змiни числа антагонiстичних видiв тварин запропонував iталiйський математик В.Вольтерра. Модель, яка була ним запропонована , - це розвиток iдеї, описаної у 1924 роцi А. Лоткi в книзi “ Елементи фiзичної бiологiї”. Ось чому ця класична матмодель вiдома як “модель Лоткi- Вольтерра”.

Хоча в природi вiдносини антагонiстичних видiв бiльш складнi, ніж у моделi, проте вона є непоганою навчальною моделлю, на якiй можна вивчати основнi iдеї матмоделювання.

Задача моделювання формулюється таким чином.

У певному, екологiчно закритому районi, живуть два види тварин (наприклад, рись та крiль). Кролi (жертви) живляться рослинною їжею, якої завжди достатньо. Рисi (хижаки) можуть живитися тiльки кролями. Необхiдно знайти, як буде змiнюватися кількість жертв та хижакiв у такiй екологiчнiй системi.

Позначимо кількість жертв через n, а кількість хижакiв через m. Числа m та n є функцiями від часу т. У даній моделi врахуємо такi фактори:

1. Природне розмноження жертв;

2.Природна загибель жертв;

3 Знищення жертв за рахунок поїдання їх хижаками;

4. Природне вмирання хижакiв;

5.Збiльшення кількості хижакiв за рахунок розмноження за наявностi їжі.

Оскільки мова йде про математичну модель, то задачею є одержання таких рiвнянь, в які б входили всi ці фактори та які б описували динамiку, тобто змiну кількості хижакiв та жертв із часом.

Нехай за деякий час Т кiлькiсть жертв і хижакiв змiниться на N та M. Змiна кількості жертв N за час Т визначається, по - перше, збiльшенням унаслідок природного розмноження (яке пропорційне кількості жертв):

(N ) ₁ = A  N  T (1)

де A - коефiцiєнт пропорцiйностi, який характеризує швидкiсть розмноження жертв у даних умовах. По - друге, має мiсце також зменшення кількості жертв через природне вмирання:

(N) ₂ = -B N T (2)

Знак мiнус означає зменшення. В основi виведення рiвняння, яке описує зменшення кількості жертв за рахунок з’їдання їх хижаками, міститься iдея - чим частiше відбуваються їх зустрiчi, тим швидше зменшується кількість жертв. Зрозуміло, що частота зустрiчей хижака з жертвою пропорцiйна і кількості хижакiв, і кількості жертв, тобто їх добутку MN.

Ось чому можна записати:

(N )= -C  N  M  T (3)

Тут коефiцiєнт С характеризує частоту зустрiчей хижака з жертвою. З урахуванням усiх факторiв можна записати таке рiвняння:

N= A  N  T - B  N  T - C  M  N  T (4)

Якщо роздiлити лiву та праву частини рiвняння (4) на Т та перейти до межі Т  0, отримаємо диференцiйне рiвняння першого порядку:

dN/dT = A  N - B  N - C  M  N (5)

Змiна кількості хижакiв М визначається збільшенням через природне розмноження за наявностi достатньої кiлькостi їжі (M₁ = Q  N  M T) та зменшенням через природне вмирання хижакiв M₂ = - P  M  T:

M = Q  N  M  T - P  M  T. (6)

Із рiвняння (6) можна отримати диференцiйне рiвняння:

dM/dT = Q  N  M - P  M (7)

Диференцiйнi рiвняння (5) та (7) становлять собою математичну модель “Хижаки - жертви”. Достатньо знайти значення коефіцієнтів A, B, C, Q, P і математичну модель можна використовувати для розв’язання поставленої задачi.