7.3. Вступ у теорію ймовірностей

Нехай визначена сукупність вимірювань систолічного тиску в певній групі обстежуваних (табл.1). Що можна сказати про величину АТ в наступному, одинадцятому спостереженні, яке ми не проводили? Повною мірою оцінити цю величину ми не можемо, а можемо лише дати імовірнісну оцінку, тобто передбачити значення з тією або іншою часткою ймовірності.

Будь-яке значення АТ, яке ми виміряли, є випадковою величиною. Якщо є яка-небудь залежність, що описує цю випадкову величину, то прийнято говорити, що випадкова величина характеризується функцією ймовірності. У цьому разі, ґрунтуючись на отриманих результатах, можна прогнозувати ту величину, що буде отримана в наступних вимірюваннях. Така прогнозована величина називається математичним сподіванням. Спробуємо визначити величину математичного сподівання для нашого випадку.

Для цього спочатку згрупуємо однакові результати й оцінимо ймовірність їхньої появи в нашому спостереженні (табл.3):

Таблиця 3. Імовірність прояву параметра в сукупності

Систолічний АТ (Х)	Кількість пацієнтів	Імовірність (Р)
115	3	0,3
120	6	0,6
125	1	0,1

Оскільки загальне число спостережень склало десять (цифра 10 узята для наочності математичних маніпуляцій), тоді кожна поява того чи іншого pезультату становить собою ймовірність, що дорівнює 0,1. Для трьох появ цієї цифри: 0,1 * 3 = 03 і т.п.

Імовірність тієї чи іншої події при числі спостережень n оцінюється за простою формулою. Якщо число, що спостерігається, конкретних подій при числі спостережень n дорівнює m, то ймовірність дорівнює відношенню числа спостережень, у яких була виявлена подія, до загального числа спостережень:

Імовірність можна оцінити в безперервній шкалі від 0 до 1 включно. Подія, що неможлива, має ймовірність 0, а подія, що відбудеться обов'язково, має ймовірність 1.

Дві події називаються протилежними, якщо вони не можуть одночасно відбутися чи разом існувати. Дві події називаються незалежними в тому разі, якщо наявність чи відсутність однієї не змінює ймовірність появи іншої або якщо поява однієї не впливає на ймовірність появи іншої.

Події називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них залежить від того, чи відбулася, чи не відбулася інша. В останньому разі вводиться поняття умовної ймовірності. Так, імовірність події В за умови, що вже настала подія А, позначається P(B/A).

Якщо подія складається з появи якої-небудь із групи протилежних подій (подія А або подія В), то ймовірність такої події становить собою суму ймовірностей подій у даній групі (правило додавання), тобто:

Р(А або В) = Р(А)+Р(В) (1)

Якщо події A і B незалежні, то ймовірність складної події, яка полягає в тому, що відбулися обидві ці події (подія А і В), дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто:

P(А і В) = Р(А)·Р(В) (2)

Якщо події A і B залежні, то ймовірність складної події, яка полягає в тому, що відбулися обидві ці події (подія А і В), дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність другої, тобто:

P(А і В) = Р(А)·Р(В/А) = Р(В)·Р(А/В) (3)

Нехай ми вивчили 2000 історій хвороби хворих на туберкульоз. У цьому разі число спостережень N = 2000. Серед переглянутих історій хвороби у 100 пацієнтів було виявлене зниження кількості тромбоцитів (тромбоцитопенія) (n = 100). У цьому випадку ймовірність тромбоцитопенії дорівнює:

P = n/N =1 00/2000 = l/20 =0,05.

Очевидно, що будь-який емпіричний досвід дає можливість із тією чи іншою мірою правильності прогнозувати майбутнє. У теорії статистики розуміння феномена прогнозування називається математичним сподіванням.

Математичне сподівання M(X) - це сума добутків усіх можливих значень величини X, що спостерігається, на ймовірність її появи в даному спостереженні Р:

М(X) = x₁P₁ + x₂P₂ + … + x_nP_n = (4)

У розглянутому нами випадку варіаційного ряду систолічного тиску математичне сподівання величини, що спостерігається, складає:

М (Х) = 120*0,6 + 115*0,3+ 125*0,1 = 72+34,5 +12,5 = 119,0.

Отже, найбільш імовірною (за точного вимірювання) є величина, що складає 119 мм.рт.ст.