Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный технический университет

Аксёнов А.П.

СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГТУ

1998

УДК 512.1

Аксёнов А.П. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998, 124 с.

Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика».

Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Нормальные системы ОДУ и методы их интегрирования», «Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка», «Линейные системы ОДУ (общая теория)», «Линейные однородные и неоднородные системы ОДУ с постоянными коэффициентами», «Линейные однородные системы ОДУ с периодическими коэффициентами», «Устойчивость по А.М. Ляпунову решений систем ОДУ».

В связи с широким применением матричного исчисления к исследованию и решению систем ОДУ каждый раз по мере необходимости дано подробное изложение соответствующих разделов теории матриц.

Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия. В качестве дополнительного материала может быть использовано также студентами других факультетов университета.

Ил. 2. Библ. 7 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Санкт-Петербургский государственный технический университет, 1998

ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Основные понятия и определения

1°. Нормальными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

называются системы вида

dy1

= f

(x,

, y

, K,

dy2

= f

2 (x, y1, y2 , K,

yn ),

(1 )

. . . . . . . . .

dyn

= f

( x, y

, y

, K, y

Здесь n – фиксированное число ( n N , n ≥1) (n – порядок системы),

x – вещественная независимая переменная,

y1(x), y2 ( x), K,

yn (x) – искомые вещественные функции,

f1(x, y1, y2 , K, yn ),

f2 ( x, y1, y2 , K, yn ), K,

fn (x, y1, y2 , K, yn ) – из-

вестные функции, определенные

и непрерывные

в некоторой области

(D) Rn+1 .

Если ввести в рассмотрение вектор-функции

y ( x)

(x, y , y

, K, y

)

, K, y

Y(x) =

(x)

F(x,Y ) =

(x, y , y

)

. . . . . .

( x, y1, y2

(x)

, K, yn )

то система (1 ) запишется в виде

= F(x,Y ) .

(1)

В (1): x R , Y Rn , F( x,Y ) C( D) , где (D) Rn+1 .

2°. Определение. Решением системы (1) в a, b называют всякую вектор-

ϕ1(x)

функцию Y(x) = ϕ(x) = ϕ2 ( x) , x a, b , обладающую свойствами:

ϕnK( x)

ϕ1′(x)

1) для любого x a, b существует ϕ′(x) = ϕ′2 ( x) ;

ϕ′nK(x)

2)для любого x a, b точка (x,ϕ(x)) ( D) ;

3)для любого x a, b ϕ′(x) = F(x,ϕ(x)).

Заметим, что вектор-функция F(x,ϕ(x)) C( a, b ) как суперпозиция непрерывных функций. А тогда из свойства 3) следует, что ϕ′(x) C( a, b ), то есть любое решение системы (1) в a, b непрерывно дифференцируемо.

3°. Задача Коши для системы (1) состоит в следующем: среди всех решений системы (1) найти такое решение Y =ϕ( x) , которое удовлетворяет усло-

вию

Y(x)

=Y0 .

(2)

x=x0

В (2) x0 ,

Y0 – любые, но такие, что точка (x0 ,Y0 ) ( D) .

4°. Пусть

дана

система

= F(x,Y )

(1) и

дано

начальное

условие

Y(x)

x=x0

=Y0

(2).

Пусть

x Iδ = (x0

Y = ϕ( x) ,

− δ, x0

+ δ) ,

Y = ϕ( x) ,

x I~ = (x0 − δ

, x0 + δ) , – любые два решения задачи (1) – (2). Тогда: если су-

ществует интервал

Iδ = (x0 −δ, x0 +δ) такой,

x Iδ, то гово-

что ϕ

( x) ≡ ϕ( x) ,

рят, что задача (1) – (2) имеет единственное решение. Точку (x0 ,Y0 ) (D) назы-

вают в этом случае точкой единственности системы (1).

Пусть область (D1 ) (D) , и пусть каждая точка (x,Y ) (D1 ) является точкой единственности системы (1). Тогда (D1 ) называют областью единственности системы (1).

§ 2. Некоторые сведения из теории вектор-функций

Напомним некоторые факты из теории вектор-функций, используемые при рассмотрении систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

					x1

1°. Пусть Rn – n-мерное векторное пространство. Пусть вектор X = x2						–
					K

					xn
любой из Rn . За норму вектора X принимают по определению
	X	= max	{	xi	}.
	X	= max	{	xi	}.
		(i=1, n)

между любыми двумя точками

оп-

2°. Расстояние ρ( X, X )

X из

ределяют соотношением

ρ( X

, X ) =

X − X

3°. Пусть X (0)

– любая фиксированная точка из Rn . δ-окрестность точки

X (0) определяется соотношением

< δ}.

Uδ( X (0) ) ={X,

X − X (0)

Так как

X − X (0)

< δ

xi − x(i

< δ,

i =

то заключаем, что Uδ( X (0) ) –

1, n

n-мерный куб с центром в точке X (0)

и ребром 2δ .

4°. Пусть {X ( k )}k N – последовательность векторов из Rn . Пусть X (0) –

фиксированная точка в Rn . Говорят, что последовательность {X ( k )}k N схо-

дится к X (0) при k → ∞, и пишут lim X ( k )

= X (0) , если любому ε > 0 отвечает

k→∞

номер K такой, что как только k > K ,

так сейчас же

X ( k ) − X (0)

< ε. Отметим,

что

X ( k ) − X (0)

< ε

x(i k ) − x(i

< ε,

i =

Из этого следует, что сходи-

1, n

мость в пространстве Rn

осуществляется покомпонентно, то есть

( k )

(0)

( k )

(0)

= xi ,

klim→∞ X

klim→∞ xi

i =1, n .

y (x)

x R1 ,

5°.

Введем

рассмотрение

вектор

Y(x) = y2 (x) .

Здесь

yn (x)

y1(x), y2 ( x), K,

yn (x) – функции от x, определенные в некотором промежутке

a, b . Y(x) называется вектор-функцией скалярного аргумента x, определенной в a, b .

Говорят, что вектор-функция Y(x) непрерывна в точке x0 a, b , если в этой точке непрерывны одновременно функции y1(x), y2 (x), K, yn (x) .

Производная вектор-функции Y(x) в точке x0 a, b определяется соотно-

y1′′(x0 )

шением Y ′(x0 ) = y2 (x0 ) . Y ′(x0 ) существует, если существуют одновременно

yn′K(x0 ) y1′(x0 ), y2′(x0 ), K, yn′( x0 ) .

Пусть вектор-функция Y(x) определена в [a, b] . ∫Y( x) dx определяется со-

отношением

∫Y

b

∫y1( x) dx
ba

(x) dx = ∫y2	(x) dx .
a	. .
. .	. .
b

∫yn	( x) dx
a

b	b	b
∫Y( x) dx	существует, если существуют одновременно ∫y1(x) dx ,	∫y2 (x) dx ,
a	a	a

K, ∫yn ( x) dx .

Отметим, что

∫Y( x) dx

≤

∫

Y(x)

. В самом деле, имеем

∫Y( x) dx

(mi=1,axn)

∫yi (x) dx

∫yi0 (x) dx

≤

∫

yi0 (x)

≤

∫

Y( x)

6°. Рассмотрим вектор-функцию F(x,Y ) вида

(x,

, K

, y

)

(x,

F( x,Y ) =

, K, y

)

. . . . .

(x, y1, K, yn )

Здесь n N , n ≥1,

x R , Y = y2 Rn . Будем считать, что f

( x, y , K, y

) ,

i =			, определены в некоторой области (D) Rn+1 .
i =	1, n		, определены в некоторой области (D) Rn+1 .
	Частные производные вектор-функции F(x,Y ) :				∂F(x,Y )	и	∂F(x,Y )
					∂x		∂yi
( i =				) определяются соотношениями
( i =		1, n		) определяются соотношениями

∂f1

∂f

∂yi

∂x

∂F( x,Y )

∂f

;

∂f2

∂F(x,Y ) =

∂yi

(i =1, n) .

∂x

∂yi

∂f

∂fn

∂x

∂yi

Символами ∂F(x,Y ) и ∂F(x,Y ) обозначают соответственно:

∂(x,Y )

∂Y

∂f1

∂f

∂x

∂y1

∂y2

∂yn

∂F( x,Y )

∂f2

∂x

∂y

– матрица Якоби,

∂( x,Y )

K K K K K

∂f

∂x ∂y

∂y

∂f1 ∂f1

∂f1

∂y1

∂y2

∂yn

∂f2

∂F( x,Y ) = ∂y

∂y

∂Y

K K

∂f

∂y

7°. Теорема о полном приращении вектор-функции.

Пусть

((D) Rn+1 );

1) вектор-функция F( x,Y ) C( D)

2) область (D) выпукла по Y, т.е. для любых двух точек (x,Y ) и (x,Y ) из

(D) оказывается, что отрезок, их соединяющий, лежит в (D);

3) ∂F( x,Y ) C(D) .

∂Y

Тогда для любых двух точек (x,Y ) и (x,Y ) из (D) справедливо соотношение:

~ − ~ = ∫1

F( x,Y ) F(x,Y )

~	+t	~	~	~ ~
∂F (x,Y	+t	(Y	−Y ))	~ ~
				(Y −Y ) dt .	(1)
	∂Y			(Y −Y ) dt .	(1)
	∂Y

~ ~

Пусть (x,Y ) и (x,Y ) – любые две точки из (D). Соединим их прямолинейным отрезком. Его параметрические уравнения будут такими:

x = x,
			~		t [0,1].
	~			~

Y =Y		+t (Y −Y ),
В точках этого прямолинейного отрезка будем иметь:
		~	~	~
F( x,Y ) = F (x,Y			+t (Y	−Y )) = ψ(t), t [0,1].

ψ(t ) – векторная функция скалярного аргумента t:

	ψ1(t)

ψ(t) =	ψ2 (t)	;	~	~ ~	~	~ ~
	ψ2 (t)		~	~ ~	~	~ ~
	K		ψi (t) = fi(x, y1	+t ( y1 − y1 ), K, yn +t ( yn − yn )) (i =1, n) .
	K

	ψn (t)

Отметим, что

1)ψ(t) C([0,1]) как суперпозиция непрерывных функций.

2)ψ (t ) имеет на [0,1] непрерывную производную

			n	∂f1	~	~ ~	~ ~
			∑		(x,Y	+t (Y −Y )) ( y j		− y j )
	ψ′(t)		∑	∂y j	(x,Y	+t (Y −Y )) ( y j		− y j )
	ψ′(t)		j=1	∂y j
ψ′(t) =	1	=	j=1						.
ψ′(t) =	K	=	. .		. .	. . . . . . .		.	.
			n	∂fn		~ ~
	ψ′n (t)		n	∂fn	~	~ ~	~	~
			∑		(x,Y	+t (Y −Y )) ( y j		− y j )
			∑	∂y j	(x,Y	+t (Y −Y )) ( y j		− y j )
			j=1	∂y j

Из выражения для ψ′(t ) видим, что ψ′(t) C([0,1]). А тогда для функции ψ(t )

справедлива формула Ньютона – Лейбница:

ψ(1) −ψ(0) = ∫ψ′(t) dt ,

то есть

ψi (1) −ψi (0) =

fi(x,Y )

− fi(x,Y )

= ∫ψ′i (t) dt =

∂fi

~ ~

= ∫

∑

(x,Y

+t (Y −Y )) ( y j − y j ) dt , i =1, n .

(2)

∂y

j=1

Замечаем, что (2) есть покомпонентная запись формулы (1). Следовательно, формула (1) установлена.

8°. Определение. Говорят, что вектор-функция F(x,Y ) удовлетворяет в области (D) Rn+1 условию Липшица по Y, если существует число L > 0 , такое,

что для любых двух точек (x,Y ) и (x,Y ) из (D) справедливо соотношение

≤ L

F(x,Y ) − F(x,Y )

−Y

Обозначение: F( x,Y ) LipY (D) .

Определение. Говорят, что вектор-функция F(x,Y ) удовлетворяет в облас-

ти (D) Rn+1 условию Липшица по Y локально, если для любой точки (x0 ,Y0 ) ( D) существует окрестность U (x0 ,Y0 ) (D) , такая, что

F( x,Y ) LipY (U (x0 ,Y0 )).

Пишут: F( x,Y ) LipY (D) , локально.

На вопрос, при каких условиях функция F(x,Y ) наверняка удовлетворяет в области (D) условию Липшица по Y локально, ответ дает следующая теорема.

Теорема. Пусть F(x,Y ) определена и непрерывна в области (D) Rn+1 .

Пусть ∂F( x,Y ) C(D) . Тогда F( x,Y ) Lip (D) , локально.

∂Y

Возьмем в области (D) любую точку (x0 ,Y0 ) . Рассмотрим окрестность

этой точки: Uδ( x0 ,Y0 ) . Будем

считать

столь

малым,

чтобы было

(это

возможно,

ибо

(D)

–

область).

Покажем,

что

Uδ( x0 ,Y0 ) ( D)

F( x,Y ) LipY (U (x0 ,Y0 ))

По

условию

∂F( x,Y ) C(D)

∂F( x,Y ) C(

Uδ( x0 ,Y0 ))

∂fi(x,Y )

∂Y

C(Uδ(x0 ,Y0 )),

i, j =1, n

существует число

K > 0,

такое,

что

∂y j

∂fi

≤ K

( x

,Y )

для любых i, j =

∂fi

≤ K

в U

( x

,Y )

при любых

1, n

∂y j

i, j =1, n .

Очевидно, что Uδ( x0 ,Y0 ) – выпуклая область (в частности, она выпуклая по

Y).

Видим, что для F(x,Y ) в Uδ( x0 ,Y0 ) выполнены все условия теоремы о пол-

ном приращении вектор-функции. Поэтому для любых двух точек (x,Y ) и

(x,Y ) из Uδ( x0 ,Y0 ) будем иметь:

~ ~

= ∫

∂F (x,Y +t

−Y ))

F( x,Y )

− F( x,Y )

(Y −Y ) dt

∂Y

≤ ∫

∂F(x,Y +t (Y

−Y ))

~ ~

F(x,Y ) − F(x,Y )

(Y −Y )

∂Y

∂fi

~ ~

∫

max

∑

( y

− y

)

dt ≤

∫

Y −Y

dt =

{

Y −Y

= L

Y −Y

∂y j

K n

0 i=1, n

j=1

−обозн.

Итак, показано, что для любой точки ( x0 ,Y0 ) ( D) существует окрестность

Uδ( x0 ,Y0 ) ( D) , такая, что F( x,Y ) LipY (Uδ( x0 ,Y0 )) F( x,Y ) удовлетворяет условию Липшица по Y локально.

§3. Существование и единственность решения задачи Коши нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1°. Пусть даны система
	dY	= F( x,Y ),			F( x,Y ) C( D) ,	(1)
	dx	= F( x,Y ),			F( x,Y ) C( D) ,	(1)
	dx
и начальное условие
	Y		x=x0	=Y0 ,	( x0 ,Y0 ) ( D) .	(2)
						(2)

Будем искать решение задачи (1) – (2) методом последовательных приближений Пикара.

Положим ψ0 ( x) = Y0 , x R ( ψ0 ( x) – “нулевое” приближение). Существует интервал (α1,β1 ) , содержащий точку x0 , такой, что для любого x (α1,β1 )

будет: точка (x, ψ0 ( x)) ( D) . Положим

	x
	ψ1( x) =Y0 + ∫F (x, ψ0 ( x))dx,	x (α1,β1 ) .
	x0
Так как (x, ψ0 ( x)) ( D) для любого x (α1,β1 ) ,		то F (x, ψ0 ( x)) C((α1,β1 )) и,
	x
следовательно,	∫F(x, ψ0 ( x))dx существует ( ψ1 ( x) – “первое” приближение).
Имеем	x0
Имеем
ψ1′( x) = F (x, ψ0 ( x)) ψ′1( x0 ) = F (x0, ψ0 ( x0 ))= F( x0 ,Y0 ) ;
	ψ1( x0 ) =Y0 ,		( x0,Y0 ) и
то есть кривая Y = ψ1 ( x) проходит через точку			( x0,Y0 ) и	такая, что
Y ′( x0 ) = ψ1′( x0 ) = F ( x0 ,Y0 ) .			x0 , такой,
Существует	интервал (α2 ,β2 ) , содержащий	точку	x0 , такой,	что точка
(x, ψ1( x)) ( D)	для любого x (α2 ,β2 ) . Положим
	x
	ψ2 ( x) =Y0 + ∫F (x, ψ1( x))dx,	x (α2 ,β2 ) .
	x0

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20143.89 Mб71Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20142.62 Mб68Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014136.7 Кб83Шпаргалка по диффурам.doc