Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

y = x2 ), нехарактеристическая.

Для определения вида функции

f

используем условие z (x, y)

y =x 2 = 2x .

Имеем

( z + x)2

f ( z2 + x2 )

2

=

− y

.

y =x

2

y =x 2

Так как z

y =x 2 = 2x , то последнее соотношение запишется в виде

2

9x

2

2

7

2

2

7

2

f (5x

) =

2

− x

=

2

x

f (5x

) =

(5x

) .

10

7

Значит, f ( z2 + x2 ) =

( z2

+ x2 ) , и, следовательно, будем иметь

10

(z + x)2

7

(z2 + x2 ) =

− y (z2 + x2 ) = 5(xz − y) .

10

2

dY

= F(x,Y ) .

(1)

dx

Считаем, что F( x,Y ) C( D) , (D) Rn+1 , F( x,Y ) Lip (D)

– локально. Рас-

Y

смотрим произвольное решение системы (1)

Y = ϕ( x),

x I = a, b .

(2)

Определение. Если существует решение системы (1)

Y = ϕ1( x),

x I1 = a1, b1 ,

(3)

Y = ψ ( x),

x [b − h, b + h], h > 0,

ψ (b) = C .

Рассмотрим функцию

ϕ( x), x I = (a, b],

ϕ1( x) =

ψ( x), x [b, b + h].

Отметим, что ϕ1( x) определена и непрерывна на I1 = (a, b + h]. Покажем, что

она является решением системы на промежутке (a, b + h] = I1 .

Имеем: 1) для любого x I1 точка (x,ϕ1(x)) ( D) .

Имеем, далее:

ϕ1′(x) = ϕ′(x) = F (x,ϕ( x))= F (x,ϕ1(x));

для x (a, b)

для x (b, b + h] ϕ1′( x) = ψ′(x) = F (x, ψ( x))= F (x,ϕ1(x)).

ϕ( x) имеет в точке b левостороннюю производную

ϕ1( x) имеет в точке b

левостороннюю производную, причем

ϕ1′(b −0) = ϕ′(b −0) = F (b,ϕ(b))= F(b,C) .

ψ ( x) имеет в точке b правостороннюю производную ϕ1( x) имеет в точке b

правостороннюю производную, причем

ϕ1′(b +0) = ψ′(b +0) = F (b, ψ(b))= F(b,C) .

Видим,

что

существуют

ϕ1′(b − 0)

и

ϕ1′(b + 0) ,

причем

ϕ1′(b − 0) = ϕ1′(b + 0) = F(b,C ) существует ϕ1′(b) , причем

ϕ1′(b) = F(b,C) = F (b,ϕ1(b)).

Таким образом, для x I1 существует ϕ1′( x) , причем ϕ1′( x) = F (x,ϕ1( x)).

Вывод: вектор-функция Y = ϕ1( x) , x I1 = (a, b + h]

есть решение системы

(1). Это решение определено на промежутке I1 , который является расширением

вправо промежутка I. Так как ϕ1( x) ≡ ϕ( x) ,

x I , то заключаем,

что ϕ1( x) ,

x I1 , – продолжение вправо решения ϕ( x) , x I .

бесконечную

последовательность продолжений исходного

решения ϕ( x) ,

x I :

hn−1 > 0 (n =1, 2, 3, K) .

ϕn ( x),

x In = (a, bn ], bn = bn −1 + hn−1,

Здесь {bn}n N – монотонно возрастающая числовая последовательность. Сле-

довательно, b

~

~

→b

( b ≤ +∞).

n n→∞

Рассмотрим теперь вектор-функцию:

~

x In ,

n =1, 2, 3, K .

ϕ(x) = ϕn (x),

Эта функция

определена на любом

In

и,

следовательно,

определена на

~

∞

~

~

I

= UIn = (a, b ). При этом для любого x I

существует n такое, что x (a, bn )

n=1

и, следовательно,

~

~

ϕ′(x) = ϕ′n (x) = F (x,ϕn ( x))

= F (x,ϕ( x)).

Это означает, что функция

~

~

~

Y = ϕ( x),

x I

= (a, b )

Y = ϕ( x), x I = (a, b)

(*)

– решение системы (1) (считаем, что b < +∞). Тогда:

I. если решение (*) удовлетворяет условиям:

1)

существует lim ϕ(x) = C ,

x→b−0

2)

точка (b,C) (D),

I1 = (a, b1) , где

то решение (*) продолжимо вправо на некоторый интервал

b1 > b ,

ϕ( x),

x I = (a, b),

ϕ1( x) =

x = b.

C,

II.

По

условию, решение

(*) имеет продолжение вправо: ϕ1( x) ,

x I

= (a, b ) ,

где

b > b

существует

lim

ϕ ( x) = ϕ (b) . Но тогда

1

1

1

x→b

1

1

lim

ϕ( x) =

lim ϕ (x) = ϕ (b) = C , т.е. lim ϕ(x) существует.

x→b−0

x→b−0

1

1

x→b−0

Имеем,

далее:

точка

(b,C) = (b,ϕ1(b)) (D)

как

точка

графика решения

вале

I = (a, b)

( b < +∞).

Пусть точка x0 (a, b) .

Если

вектор-функция

F (x, ϕ( x)), x [x0 , b) , ограничена по норме, т.е. если существует

M > 0 такое,

что

F (x, ϕ( x))

≤ M , x [x0 , b) , то существует

lim

ϕ(x) .

x I –

x→b−

0

У нас ϕ( x) ,

решение системы (1). Следовательно,

справедливо

тождество

ϕ′( x) ≡ F (x, ϕ( x)),

x I .

Проинтегрируем это тождество по отрезку [x0 , x] [x0 , b) . Получим

x

ϕ( x) ≡ ϕ( x0 ) + ∫F (x, ϕ( x))dx ,

x [x0 , b) .

(*)

x0

Возьмем

теперь

последовательность {xn}n N

–

любую,

но

такую,

что

xn [x0 , b)

и xn →b . Рассмотрим соответствующую последовательность зна-

чений функции

n→∞

{ϕ(xn )}n N .

(∆)

Покажем,

что она фундаментальная. Для этого возьмем ε > 0 – любое. У нас

последовательность {xn}n N – сходящаяся. ( xn

→b )

взятому ε > 0

отве-

n→∞

ε

чает номер N такой, что для любых n1, n2 > N :

xn

− xn

<

. В тождестве (*)

2

M

1

xn

2

(x, ϕ( x))dx

ϕ( xn2 ) −ϕ( xn1 ) = ∫F

xn

1

xn

2

F (x, ϕ(x))

ε

ϕ( xn2 ) −ϕ( xn1 )

≤

∫

dx

≤ M

xn2 − xn1

< M

= ε.

M

xn

1

Видим, что взятому ε > 0 отвечает номер N такой, что для любых

n1, n2 > N

ϕ( xn2 ) −ϕ( xn1 )

< ε. Последнее означает,

что {ϕ(xn )}n N – фундаментальная.

А из фундаментальности следует существование lim ϕ( xn ) .

n→∞

Итак, для любой последовательности

{xn}n N , такой, что

xn [x0 , b) и

Замечание. Обозначим

lim ϕ(x) = C . Следует иметь в виду, что точка

x→b−0

(b,C) может принадлежать, а может и не принадлежать (D).

Следствие. Пусть ϕ( x) ,

x I = (a, b) ( b < +∞), – решение системы (1).

шение ϕ( x) ,

x I = (a, b) , продолжимо вправо на I1 = (a, b1)

( b1 > b ).

Так как (

– огра-

D1) – ограниченная замкнутая и (D1) (D) , то F (x,Y )

ниченная на (

D1) . По условию, точки (x,ϕ(x)) (

F (x, ϕ( x)),

D1) , x [x0 , b)

x [x0 , b) , –

ограниченная. Тогда по теореме 3

существует

lim ϕ(x) = C . У

нас точки

(x,ϕ(x)) (

x→b−0

Но

тогда и

предельная

точка

D1) , x [x0 , b) .

(b,C) (

решение

D1) (D) . Видим, что выполнены условия теоремы 2

ϕ( x) , x I = (a, b) , продолжимо на интервал I1 вправо.

Определение. Пусть

x I = a, b ,

(2)

Y = ϕ( x),

– решение системы

dY

= F(x,Y ) .

(1)

dx

Пусть (2) продолжимо на некоторый интервал I* = (α,β) , но не продолжимо ни

на какой более широкий промежуток.

Тогда I*

называют максимальным ин-

тервалом существования решения (2).

~*

= a,β) , но не продолжимо вправо ни

Если решение (2) продолжимо на I

на какой более широкий интервал, то

~

*

называют максимальным вправо ин-

I

тервалом существования решения (2).

~

* = (α, b , но не продолжимо влево ни на

Если решение (2) продолжимо на I

значит, оно продолжимо на (a,β) , а

для любого c [β, +∞) решение Y = ϕ( x) ,

x I = (a, b) ,

непродолжимо на

(a, c].

~*

= (a,β) и непро-

Вывод. Решение Y = ϕ( x) , x I = (a, b) , продолжимо на I

должимо ни на какой более широкий интервал вправо.

Совершенно аналогично устанавливается,

что для

решения Y = ϕ( x) ,

x I = (a, b) , имеется интервал существования

~

– максимальный вле-

I * = (α, b)

dY

= F(x,Y ) .

(1)

dx

(D) – локально, (D) Rn+1

Пусть F( x,Y ) C( D) ; F( x,Y ) Lip

. Тогда любые

Y

I − = (a, x0 ] доказательство аналогичное).

ϕ1( x) , x [x0 , b) . Но тогда существу-

От противного. Допустим, что ϕ2 ( x) ≡/

~

[x0 , b) такое, что

ет число b

~

1) ϕ2 ( x) ≡ ϕ1( x) , x [x0 , b ],

~

+δ) , для любого δ > 0 .

~

2) ϕ2 ( x) ≡/ ϕ1( x) , x [x0 , b

оба решения определены, причем

В точке b

~

~

~

~

ϕ2 (b ) = ϕ1(b ) = C .

~

Тогда точка (b

,C ) (D) (это – общая точка графиков наших решений).

~

~

шения Y = ϕ1( x) и Y = ϕ2 ( x) проходят через точку (b

,C ) , то существует число

~

δ > 0 , такое, что

~

~

~

~

ϕ1( x) ≡ ϕ2 ( x),

x (b

− δ

, b + δ)

ϕ2 ( x) ≡ ϕ

~

~

1( x), x [x0 , b

+ δ) .

А это противоречит тому, что ϕ2 ( x) ≡/ ϕ1( x) ,

~

δ > 0 .

x [x0 , b +δ) , для любого

Значит, предположение, что ϕ2 ( x) ≡/

ϕ1( x) , x [x0 , b), неверно.

система

dY

= F(x,Y ) .

(1)

F( x,Y ) C( D) ;

dx

Пусть

F( x,Y ) LipY (D)

–

локально,

где

{

}

(D) =

(x,Y ),

a < x < b,

Y

< +∞ .

Пусть

F(x,Y )

≤ p( x)

Y

+q( x) ,

(x,Y ) (D),

p(x), q( x) C((a, b)), p(x), q(x) ≥ 0,

x (a, b) . Тогда любое реше-

максимальный интервал существования этого решения.

Покажем, что

I = (α,β) = (a, b) .

Допустим, что это не так. Пусть, например, β < b ( α = a )

( (α,β) (a, b) ;

(α,β) ≠ (a, b) ). Пусть x0 (α,β) . Рассмотрим решение Y = ϕ( x) на промежутке

[x0 ,β) . Покажем, что решение Y = ϕ( x) – ограниченное на [x0 ,β) .

Действительно, у нас ϕ′(x) ≡ F (x,ϕ(x)), x [x0 ,β) . Проинтегрируем это

тождество по промежутку [x0 , x] [x0 ,β) . Получим:

x

ϕ( x) ≡ ϕ( x0 ) + ∫F (t,ϕ(t))dt,

x [x0 ,β).

x0

Оценим по норме:

x

ϕ( x)

≤

ϕ(x0 )

+ ∫(p(t)

ϕ(t)

+q(t))dt,

x [x0 ,β).

x0

У нас [x0 ,β] (a, b) . Поэтому p(t), q(t) C([x0 ,β])

существует

M > 0 та-

кое, что p(t) ≤ M , q(t) ≤ M , t [x0 ,β] . А тогда

x

ϕ( x)

≤

ϕ(x0 )

+ M (β− x0 ) + M

∫

ϕ(t)

dt,

x [x0 ,β) .

144424443

=λ=const >0

x0

Видим, что

ϕ( x)

= f ( x) (обозначение)

удовлетворяет на [x0 ,β]

условиям

леммы Гронуола

ϕ( x)

≤ λe M ( x −x0 ) ≤ λe M (β−x0 )

= M ,

x [x

0

,β) .

14243

1

= M1 =const

x0 ≤ x ≤β,

что (D1) – ограниченная

Рассмотрим теперь (D1) =

Y

≤ M1.

Видим,