Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

системы (10 ) в (D).)

Пусть вектор-функция Y*( x) = ψ ( x) , x I , – какое-нибудь решение неоднородной системы (1). Тогда

(3) – алгебраическая система линейных уравнений относительно компонентов вектора C. Определителем этой системы является det Φ(x0 ) ≠ 0 . Следовательно,

Показано, таким образом, что (2) удовлетворяет определению общего решения системы (1).

§7. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения Y*( x) = ψ( x) линейной неоднородной системы

обыкновенных дифференциальных уравнений

71

– линейная однородная система, соответствующая линейной неоднородной системе (1). Пусть Φ( x) – ф. м. р. с., (10 ) Y = Φ( x) C , где C – произвольный постоянный вектор, – общее решение системы (10 ) .

Станем искать решение Y*( x) = ψ ( x) системы (1) в виде:

C1( x)

где C( x) = C2 (x) – неизвестная (пока) вектор-функция. Хотим, чтобы вектор-

CnK( x)

функция (2) была решением системы (1). Но тогда должно быть справедливо тождество

Φ( x) C′( x) ≡ F( x), x I C′( x) ≡ Φ−1( x) F(x), x I

x

C( x) = ∫Φ−1(t) F(t) dt

x0

(произвольный постоянный вектор, который получается в результате интегрирования, можно считать равным 0). Здесь точки x0 , x I = (a, b) – любые.

будет решением системы (1).

Замечание. Общее решение линейной неоднородной системы (1) может быть записано, следовательно, в виде

Пусть требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию

Подстановка в (3) начальных данных (4) дает

72

Следовательно, решение задачи Коши (1) – (4) может быть записано в виде

x0

В частном случае, когда Φ( x0 ) = E , последняя формула принимает вид

x

Y = Φ(x) Y0 +Φ( x) ∫Φ−1(t) F(t) dt .

x0

Прежде чем приступать к изложению метода интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами, продолжим обзор некоторых сведений из теории матриц, используемых в дальнейшем.

Определение. Говорят, что последовательность матриц (1) сходится к мат-

т.е. сходимость последовательности матриц (1) эквивалентна одновременной

сходимости n2 числовых последовательностей.

Отметим следующие свойства сходящихся последовательностей матриц.

2)Если Ak k →∞→ A , Bk k →∞→B , то Ak + Bk k →∞→ A + B .

3)Если Ak k →∞→ A , Bk k →∞→B , то Ak Bk k →∞→ A B .

Установим, например, свойство 3.

73

Имеем

тельность частичных сумм ряда (2).

Если последовательность {Sl }l N сходится к матрице S при l → ∞, то мат-

ричный ряд (2) называется сходящимся, а матрицу S называют суммой матричного ряда (2).

∞

Пишут: S = ∑Ak .

k =1

Отметим, что Sl есть матрица с элементами

Следовательно, сходимость матричного ряда (2) означает сходимость n2 обычных числовых рядов

∞

∑ai(jk ) (i, j =1, n) .

k =1

Справедливо утверждение:

Пусть имеются два сходящихся матричных ряда

74

§9. Матричные степенные ряды

Пусть имеется скалярный степенной ряд

k =0

Пусть r – радиус сходимости, f ( x) – сумма ряда (1). Пусть A – произвольная квадратная матрица порядка n. Рассмотрим ряд

k =0

( A 0 = E ). Ряд (2) называется степенным рядом от матрицы A. Если ряд сходится, то его сумму уславливаемся обозначать через f ( A) .

Теорема (об условиях сходимости матричного степенного ряда). Пусть имеется скалярный степенной ряд (1):

2) если имеется хотя бы одно j0 такое, что λj0 > r , то ряд (2) расходится. I. Рассмотрим сначала случай, когда матрица A имеет вид:

75

Покажем, что ряд (2) сходится лишь тогда, когда сходится каждый из рядов (3) (причем, в случае сходимости: если f ( A) – сумма ряда (2), а f ( Aj ) ( j =1, m) –

суммы рядов (3), то f ( A) = diag[f ( A1 ), f ( A2 ), K, f ( Am )].) Для этого рассмотрим l-ю частичную сумму ряда (2). Имеем:

76

Отметим, что матрица λ j E коммутирует с любой матрицей (в частности, с матрицей E1 ). Поэтому сумму λ j E + E1 можно возводить в степень по формуле бинома Ньютона. Значит,

– имеет две первых нулевых строки и два последних нулевых столбца,

77

– имеет три первых нулевых строки и три последних нулевых столбца, и т. д. А тогда