Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Пусть имеется система

= A Y + F( x),

где A = {ai j }

; ai j – постоянные вещественные числа); Y ( x) ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

0 S eJ2 xK0

14243

( Здесь n2 решений)

= (S1; S2; K; Sn )

Тогда

0			0	0	K 0	0

	K K K K K K
0			0	0	K 0	0
1			0	0	K 0	0
	x		1	0	K 0	0
	x2
	x2		x	1	K 0	0	λ	x	.
2!			x	1	K 0	0	λ	x
2!							e 2
	K K K K K K
xn2 −1			K K K x			1

(n2 −		1)!
(n2 −		1)!
0			0	0	K 0	0
	K K K K K K
0			0	0	K 0	0
0			0	0	K 0	0

n2 −1

eλ2x =γ

(x) eλ2x ,

n1+1

(x) = S

x +S

+K+S

n1+1

n1+2

n1+3

n1+n2

−1)!

n2 −2

eλ2x =γ′(x) eλ2x ,

n1+2

(x) = S

x +K+S

)

n1+2

n1+3

n1+n2

−2)!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n +n

(x) =S

eλ2x =γ(n2 −1)(x) eλ2x

n +n

((62 ) – вторая группа решений), и так далее.

Для j = m :
							0
								K
								K
	0						0
	0						1
	0			= (S ; S	; K; S			x
S	0			= (S ; S	; K; S	)		x
	K			1 2	n			x2
	J		x
	J		x				2!
e		m					2!
14243								K
( Здесь nm решений)								K
( Здесь nm решений)							xnm −1


						(nm −1)!

откуда

0	0	K 0	0

K K K K K
0	0	K 0	0
0	0	K 0	0
1	0	K 0	0	e	λmx	,
				e		,
x	1	K 0	0

K K K K K
K K K x			1
K K K x			1

ψn1+K+nm−1 +1( x) = γm( x) eλmx ,

ψn1+K+nm−1 +2 (x) = γ′m( x) eλmx ,

		. . . . . . . . . .
		ψn ( x) = γ(mnm −1) ( x) eλmx .
							x	nm −1
Здесь γm( x) = Sn +K+n			+1	+ Sn +K+n		+2 x +K+ Sn	x		;
Здесь γm( x) = Sn +K+n			+1	+ Sn +K+n		+2 x +K+ Sn			;
	1	m−1		1	m−1		(nm −1)!

группа решений.

(6m )

(6m ) – m-я

§14. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами

вектор-функции. Считаем, что F( x) C((a, b)).

В качестве фундаментальной матрицы решений линейной однородной системы, соответствующей нашей неоднородной системе, берем матрицу-функцию

Φ( x) = eAx .

(2)

Общее решение линейной неоднородной системы записывается, как мы знаем, в виде

					x
		Y = Φ(x) C +Φ(x) ∫Φ−1(t)F(t) dt .					(3)
Поэтому будем иметь					x0
Поэтому будем иметь
		x				x
Y = eAx C +eAx ∫(eAt )−1 F(t) dt Y = eAx C +eAx ∫e−At F(t) dt
		x0				x0
		x			x
		Y = eAx C + ∫eAx e−At F(t) dt = eAx C + ∫eA( x −t ) F(t) dt .					(4)
		x0			x0
Замечание. Если дано начальное условие
			Y	x =x0	=Y0 ,		(5)
							(5)

где x	0	– любое из (a, b) , Y	– любой из Rn , то решение задачи Коши (1) – (5)
	0	0
дается формулой					x
					x
		Y = eA( x −x0 ) Y0 + ∫eA( x −t ) F(t) dt .					(6)
					x0

В самом деле, подставив начальные данные (5) в (4), получим Y = eAx0	C
0

C = e−Ax0 Y0 . Подставив это выражение для вектора C в (4), получим (6).

Формула (6) называется общим решением линейной неоднородной системы

(1) в форме Коши.

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§1. Логарифмы матриц

Определение. Пусть A – квадратная матрица порядка n. Матрицу B называ-

ют логарифмом матрицы A и пишут B = ln A , если A = eB . Справедливы следующие утверждения:

1. если A = diag[A1, A2 , K, Am ] и если существуют Bj = ln Aj , j =1, m, то существует B = ln A , причем B = ln A = diag[ln A1, ln A2 , K, ln Am ];

2. если A = SJS −1 ( det S ≠ 0 ) и если существует ln J , то существует ln A,

причем ln A = S ln J S −1 ;

3. если матрицы A и B коммутируют, т.е. A B = B A , и если существуют ln A и ln B , то существует ln ( A B) , причем ln ( A B) = ln A +ln B .

Теорема. Пусть A – неособенная квадратная матрица порядка n. Тогда B = ln A существует.

Пусть J – жорданова форма матрицы A. Тогда A = S J S −1 ( det S ≠ 0 ). Мы докажем, что ln A существует, если покажем, что существует ln J (см. утверждение 2).

I. Рассмотрим сначала случай, когда J = diag[λ1, λ2 , K, λn ]. Отметим, что λ j ≠ 0 ( j =1, n ), ибо собственные числа матриц A и J совпадают, а матрица A – неособенная. Следовательно, ln λ j ( j =1, n ) существуют, а значит, существует ln J (см. утверждение 1), причем

ln J = diag[ln λ1,ln λ2 , K, ln λn ].

II. Рассмотрим теперь	более общий случай, а именно случай, когда
J = diag[J1, J2 , K, Jm ], где	J j ( j =		) – клетки Жордана. Мы докажем, что
		1, m
ln J существует и что

ln J = diag[ln J1,ln J2 , K, ln Jm ],

если докажем существование ln J j для любого j =1, m. Имеем

	λj		0	0		K 0	0
		1	λj	0		K 0	0
		1	λj	0		K 0	0
J	=	0	1	λ	j	K 0	0	=
j					j
		K K K K K					K
		0	0	0		K 1
		0	0	0		K 1	λj

	1	0	0	K 0	0		0		0	0		K 0 0
	0	1	0	K 0	0			1	0	0		K 0 0
	0	1	0	K 0	0			1	0	0		K 0 0
	0	0	1	K 0	0	+		0	1	0		K 0 0	=
= λj	0	0	1	K 0	0	+		0	1	0		K 0 0	=
	K K K K K K						K K K K K K
	0	0	0	K 0	1			0	0	0		K 1 0
	0	0	0	K 0	1			0	0	0		K 1 0
1444442444443							1444442444443
			=Enj	(обозначение)					=Bn j			(обозначение)
										1
									+

			= λ j En j + Bn j = λ j En j En j							λ j	Bn j .
										λ j

Отметим, что матрица λ j En j

коммутирует с любой матрицей, в частности, она

коммутирует с матрицей

n j

. По пункту I:

ln (λ

n j

) существует.

n j

Следовательно, существование ln J j

будет доказано, если показать, что суще-

ствует

Bn j

ибо

этом

случае

ln En j

λ j

Bn j

ln J j = ln (λ j En j ) +ln En j

λ j

Убедимся, что имеет место равенство

ln En j

λj

		Bn j
	=

Bn j		λ j
		λ j

+(−1)n j −2


−	1		B2	+	1		B3	−	1	B4	+K+
−	2		B2	+	3		B3	−	4	B4	+K+
	2		n j		3		n j		4	n j
	2λ j				3λ j				4λ j		(1)
		1				Bn j −1 +K.					(1)
		1

(n j −1) λnjj −1 n j

		B
Обозначим через		n j	сумму ряда, стоящего в правой части (1). Равенство

	S
		λ j

(1) будет установлено, если удастся показать, что ряд, стоящий в правой части

		Bn j
	S							1
	S

(1), сходится и что e		λ j		= E		n j	+			B	.
(1), сходится и что e				= E			+	λ		B	.
								λ	j	n j
									j
Имеем
							0		0	0	K 0	0	0
							0		0	0	K 0	0	0
							1		0	0	K 0	0	0
				2			1		0	0	K 0	0	0	,
			Bn j		=		0		1	0	K 0 0		0	,

							K K K K K K K
							0		0	0	K 1	0	0

		0	0	0	K 0	0	0	0
		0	0	0	K 0	0	0	0
		0	0	0	K 0 0 0			0
B3	=	0	0	0	K 0 0 0			0	, K, Bn j = 0 .
n j		1	0	0	K 0	0	0	0	n j
		1	0	0	K 0	0	0	0
		K K K K K K K K
		0	0	0	K 1	0	0	0

Следовательно, в ряде (1) член (−1)n j −2	1	Bn j −1	– последний, отлич-

	(n j −1) λnjj −1 n j

ный от нулевой матрицы. Значит, ряд, стоящий в правой части (1), сходится. Принимая во внимание выражения для Bn j , Bn2j , Bn3 j , K , легко находим, что

0 K

λ j

−

0 0 K 0

2λ2j

λ j

n j

λ j

−

0 K

3λ3j

2λ2j

λ j

K K K K

(−1)n j −2

K K K K −

n j

−1

(n j −1) λ j

2λ j

Имеем, далее,

n j

∞

λ j

= ∑

n j

k !

λ j

k =

0	0
0	0
0	0

0	0
0	0
0	0	.
0	0


K K
1	0

λ j
λ j

( n j −1)

= S

n j

+K+

n j

+0 ,

−1)!

ибо

n j

= 0 для k = n j , n j

+1, K .

У матрицы

n j

чисто нулевые первая строка и последний столбец; у мат-

λ j

n j

чисто нулевые две первые строки и два последних столбца, и

рицы S

n j

т. д. У матрицы S

n j

уже все элементы равны нулю. После простых, но

трудоемких вычислений устанавливается, что

( n j −1)

n j

+K+

n j

−1)!

Так как S

n j

= En j

, то получаем

λ j

= En

n j

Таким образом, приходим к выводу, что соотношение (1) верно. Следовательно,

§2. Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Пусть имеется система

dY	= A( x) Y ,	(1)
dx

y
y1		, A(x) – матрица-функция размера (n × n) , периодическая с
где x R , Y = 2		, A(x) – матрица-функция размера (n × n) , периодическая с
K

yn

периодом ω, т.е. A(x +ω) ≡ A( x), x (−∞, +∞) . Отметим, что

A(x +ω) ≡ A( x), x (−∞, +∞) ai j ( x +ω) ≡ ai j ( x), x (−∞, +∞) , i, j =1, n .

Теорема 1. Любая фундаментальная матрица Φ( x) решений системы (1)

представима в виде
Φ( x) = p( x) exR ,	(2)

где p( x) – периодическая квадратная матрица порядка n с тем же периодом ω, а R – постоянная квадратная матрица порядка n.

Пусть Φ( x) = (ϕ1( x),ϕ2 (x), K, ϕn ( x))		– произвольная ф. м. р. с. (1)
Каждая вектор-функция Y = ϕ j (x) , j =		– решение системы (1). Покажем,
	1, n

что

Φ( x +ω) = (ϕ1( x +ω),ϕ2 (x +ω), K, ϕn (x +ω))

–тоже ф. м. р. с. (1).

В самом	деле, так как	Y = ϕ j (x)	– решение	системы (1), то
ϕ′j (x +ω) ≡ A( x +ω) ϕ j ( x +ω) ,		x (−∞, +∞) . У нас A(x)		– периодическая с
периодом ω	A(x +ω) ≡ A( x), x (−∞, +∞) . Поэтому предыдущее соотно-
шение запишется в виде:
	ϕ′j (x +ω) ≡ A(x) ϕ j (x +ω),		x (−∞, +∞) .
Последнее означает, что вектор-функция Y = ϕ j ( x +ω)				– решение системы
(1). Таким образом, если мы составим матрицу
	Φ( x +ω) = (ϕ1( x +ω),ϕ2 (x +ω), K, ϕn (x +ω)),

то ее столбцы являются решениями системы (1). Значит Φ( x +ω) – матрица

решений системы (1).

По условию, ϕ1( x), ϕ2 ( x), K, ϕn ( x) – линейно независимые в промежутке

(−∞, +∞)	ϕ1( x +ω), ϕ2 ( x +ω), K, ϕn ( x +ω) – линейно независимые в
(−∞, +∞)	Φ( x +ω) – ф. м. р. с. (1). Итак, имеем: Φ( x) и Φ( x +ω) – две

фундаментальные матрицы решений системы (1). Но тогда, как мы знаем, существует неособенная постоянная матрица C такая, что Φ( x +ω) = Φ(x) C .

Матрицу C называют матрицей монодромии.

Так как C – неособенная матрица, то существует ln C . Введем в рассмотре-

ние матрицу R =	1	ln C C = eωR . Положим далее
	ω
		p(x) = Φ( x) e−xR .
			(3)

Из (3) находим Φ( x) = p( x) exR . Остается показать теперь, что матрица p( x) – периодическая с периодом ω. Имеем

p(x +ω)(=3) Φ(x +ω) e−( x +ω) R = Φ( x) C e−ωR e−xR ,

ибо матрицы −ωR и −xR коммутируют.

Так как Ce−ωR = eωR e−ωR = e0 = E , то получаем

p(x +ω) = Φ(x) e−xR (=2) p( x) , x (−∞, +∞) .

Значит, матрица p( x) – периодическая с периодом ω. Заметим еще, что из (3) следует:

1)матрица p( x) – неособенная, ибо det p(x) ≠ 0 .

2)матрица p( x) – непрерывно дифференцируемая.

§3. Мультипликаторы
Пусть имеется линейная однородная система
	dY	= A( x) Y ,	(1)

	dx
где A(x) – периодическая матрица-функция с периодом ω. Пусть Φ1( x)			– ка-

кая-нибудь ф. м. р. с. (1). Выше было показано, что Φ1( x +ω) – тоже ф. м. р. с.

(1). Но тогда

Φ1( x + ω) = Φ1( x) C1

(2)

( C1 – матрица монодромии, det C1 ≠ 0 ). Пусть Φ( x) – некоторая другая ф. м. р. с. (1). Тогда и Φ( x +ω) – тоже ф. м. с. р. (1), причем

Φ( x + ω) = Φ( x) C

(3)

(C – матрица монодромии, det C ≠ 0 ).

Найдем связь между матрицами C1 и C. У нас Φ1( x) и Φ( x) – ф. м. р. с. (1). Поэтому существует неособенная постоянная матрица T такая, что

	Φ1( x) = Φ( x) T		(4)
	(2)	= Φ1( x) C1	(4)
	Φ1( x + ω) = Φ( x + ω) T Φ( x + ω) T	= Φ1( x) C1
	(4)
	Φ( x + ω) T = Φ( x) T C1 .
Умножим обе части последнего равенства на матрицу T −1 справа. Получим
	Φ( x +ω) = Φ( x) T C T −1 .		(5)
	1
Но, с другой стороны, мы имеем (см. (3))
	Φ( x +ω) = Φ( x) C .
Так как матрица C – единственная, то из (5) и (3) следует, что
	C = T C T −1.		(6)
	1

Последнее означает, что матрицы C и C1 – подобные.

Общий вывод: все матрицы монодромии для данной системы (1) являются подобными.

Известно, что собственные числа подобных матриц одни и те же. Следова-

тельно, справедливо утверждение: собственные числа любой из матриц монодромии для данной системы (1) не зависят от выбора ф. м. р. с. (1).

Определение. Пусть µ1, µ2 , K, µm – собственные числа матрицы монодромии C. Эти числа называются мультипликаторами системы (1).

У нас R = ω1 ln C . Пусть λ1, λ2 , K, λm – собственные числа матрицы R. Яс-

но, что λ j = ω1 ln µ j . Числа λ1, λ2 , K, λm называются характеристическими

показателями системы (1). Заметим, что:

1) если Re λj < 0 , то для соответствующего мультипликатора µ j будет

µj <1;

2)если Re λj > 0 , то µj >1.

§4. Структура фундаментальной матрицы решений линейной однородной системы с периодическими коэффициентами

Было показано, что ф. м. р. с.
	dY	= A( x) Y ,	(1)

	dx
где A(x +ω) ≡ A( x), x (−∞, +∞) , представима в виде
Φ( x) = p( x) exR .			(2)

В (2) p( x) – периодическая с периодом ω, неособенная, непрерывно дифферен-

цируемая квадратная матрица порядка n; R = ω1 ln C (C – матрица монодромии).

Пусть J – жорданова форма матрицы R. Значит, существует матрица S такая, что R = S J S −1 . Имеем

Φ( x) = p( x) exR = p( x) eSJxS −1 = p( x) S eJx S −1 .

Умножив обе части последнего матричного равенства на S справа, получим


Φ( x ) S = p( x ) S eJx = p* ( x )eJx .
124	43		124	43
=Ψ( x )			=p* ( x ) (обозначение)
Отметим, что Ψ( x) = Φ( x) S		является ф. м. р. с. (1), а p*( x) – матрица, обла-

дающая теми же свойствами, что и p( x) ( p*( x) – периодическая с периодом ω, неособенная, непрерывно дифференцируемая).

Итак,
Ψ(x) = p*( x) eJx .	(3)

Если выясним структуру матрицы Ψ( x) , то тем самым узнаем структуру ф.

м. р. с. (1).

Имеем

0 K 0

J1x

eJ2 x

K 0

Ψ( x ) = p* ( x ) K K K K

= p* ( x ) K ;K; p* ( x ) K

J m x

K e

123

n1 столбцов

nm столбцов

Каждой клетке Жордана J j ( j =1, m) соответствует группа решений, входящих

в матрицу Ψ( x) . Выпишем эти группы решений в явном виде. Первая группа ( j =1):

0 K 0

J1x

Kn −1

K K K K K

x 1

p*( x)

(p1, p2

, K, pn )

K K K x 1

e 1

−1)!

1442443

0 0 K 0 0

=p (x)

(здесь n1

решений)

K K K K K K

0 K 0

n1−1

eλ1x ,

(x) = p ( x) + p (x) x + p ( x)

+K+ p

(x)

(n1

−1)!

n1−2

( x) =

p (x) + p ( x) x +K+ p

( x)

eλ1x ,

(n1 −2)!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

λ1x

(x) = pn1 (x) e

ψn1

Отметим,

что

p1(x),

p2 ( x), K, pn1(x)

–

периодические вектор-функции с пе-

риодом ω.

Вторая группа решений ( j = 2 ):

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20143.89 Mб71Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20142.62 Mб68Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014136.7 Кб84Шпаргалка по диффурам.doc