Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пусть λ1, λ2 , K, λm – собственные числа матрицы A. Очевидно, что					λ j	< r ,
j =		. Следовательно, ряд (2) сходится для любой матрицы A.
j =	1, m	. Следовательно, ряд (2) сходится для любой матрицы A.
Положим, по определению,
		∞	Ak
		eA = ∑	Ak	.	(3)
		eA = ∑		.	(3)
		k =0	k !
		k =0

Найдем поэлементную структуру матрицы eA .

Пусть A = S −1JS , где J = diag[J1, J2 , K, Jm ] – жорданова форма матрицы A;

	λ j	0		0	K 0	0
	1	λ	j	0	K 0	0
			j
J j =	0	1		λ j K 0		0	( j =1, m).
	K K K K K K
	0	0		0	K 1
	0	0		0	K 1	λ j

Имеем:

eA = eS −1JS = S −1eJ S = S −1 diag[eJ1 , K, eJ m ] S .

Имеем, далее:

eλ j

K 0

0 K 0

eλ j

λ j

K 0

0 K 0

eJ j =

λ j

eλ j

K 0

1 K 0

eλ j .

K K K K K

λ j

K K K 1

K K K e

λ j

(n j

−1)!

(n j −1)!

Отметим, что

собственными

числами

матрицы

являются

числа

eλ1 , eλ2 , K, eλm

матрица eA – неособенная для любой матрицы A.

§11. Матрица-функция eAx

Пусть A – произвольная матрица размера (n × n)

(n ≥1) , x – скалярная вели-

чина. Тогда A x – матрица размера (n × n)

∞

eAx = ∑( Ax)k .

(1)

k =0

k !

eAx .

A = S −1JS ,

Найдем

поэлементную

структуру

матрицы

где

J = diag[J1, J2 , K, Jm ];

J j

( j =

)

–

клетка

Жордана.

Тогда

1, m

eAx = eS −1JS x = eS −1 Jx S

= S −1eJx S , где eJx = diag[eJ1x , eJ2 x , K, eJ m x ].

Найдем поэлементную структуру матрицы eJ j x . Имеем:

	J		x	∞		( J j x)k	∞	xk
e		j		= ∑			= ∑		J jk ,	(2)
e		j		= ∑		k !	= ∑	k !	J jk ,	(2)
				k =	0	k !	k =0	k !
				k =	0		k =0

λ j		0		0	K 0
	1	λ	j	0	K 0
				λ j K 0
J j =	0	1
	K K K K K
	0	0		0	K 1

Составляем частичную сумму ряда (2):

0 .

λ j

(λkj )′

) = ∑

Sl (e

k !

J j

∑k !

k =0

k ( n j −1)

k = 0

(λ j )

(n j −1)!

(λ j x)k

∑

0 K

k !

k =0

x)k ′

l (λ

∑

k !

(λ j x)

k =0

λ j

∑

0 K

k !

K K

k ( n j −1)

(λ j x)

∑

k !

k =0

λ j

K K

(n j

−1)!

Переходя к пределу при l → +∞, получим:

0	0 K 0

λkj	0 K 0
λkj	0 K 0			=
K K K K				=
K K K K
			k
K K K λ j

	0
	0




	0
	0		.
			.
	K
	K

l	(λ j x)	k
l	(λ j x)
∑
∑	k !
k =0	k !
k =0

eJ j x = lim Sl (eJ j x ) = l→∞

Итак, eJx = diag[eJ1x , eJ2 x , K, eJ m x ]

(n j × n j ) , имеющая вид (3).

eλ j x x eλ j x

xn j −1 eλ j x

(n j −1)!

где eJ j x

	0	K 0

e	λ j x	K		0
e		K		0

K K K .					(3)

K K e				λ j x
K K e

( j =			)	– матрица размера
( j =		1, m	)	– матрица размера

Найдем выражение для производной от матрицы-функции определению:

∞

( Ax)

k ∞

∞

∑

B x

( B )

i j

k !

∑ k

∑

k =0

{

k =0

(обозн.)

eAx . Имеем, по

xk .

Видим, что элементами матрицы eAx являются степенные ряды

∞

′

∞

k −1

∑(Bk )i j x

= ∑k ( Bk )i j x

= ∑k

k !

k =0

k =1

∞

Ak −1

= ∑

xk −1

= A ∑

xk −1

= A eAx ,

x (−∞, +∞) .

k =1 (k −1)!

k =1

(k −1)!

1442443

= eAx

§12. Умножение матричных рядов

Пусть имеется матричный ряд

∞

∑Ak .

(1)

k =0

Пусть имеется числовой положительный ряд

∞

∑ak .

(2)

k =0

Если Ak ≤ ak ( k = 0,1, 2, K ), то говорят, что ряд (1) мажорируется рядом (2).

Справедливо утверждение:

Если матричный ряд (1) мажорируется сходящимся числовым рядом (2), то матричный ряд (1) сходится.

Рассмотрим l-ю частичную сумму матричного ряда (1):

∑l ai(jk ) k =0 ∑l ai(jk ) k =0


			l			l
S		=	∑	A			a	( k )
S	l	=		A	k	=	a	i j	.
	l				k	∑		i j
			k =0			k =0
представляет собой	произвольный						элемент матрицы Sl ( i, j =				).
представляет собой	произвольный						элемент матрицы Sl ( i, j =			1, n	).

является l-й частичной суммой числового ряда

∞
∑ai(jk ) ( i, j =1, n ).	(3)

k =0

По условию имеем:

ai(jk ) ≤ Ak ≤ ak (k = 0,1, 2, K; i, j =1, n) .

Видим, что каждый из n2 рядов (3) мажорируется сходящимся положительным

числовым рядом (2) каждый из n2 рядов (3) сходится, т.е.				l	a( k ) →a
числовым рядом (2) каждый из n2 рядов (3) сходится, т.е.			∑		a( k ) →a				i j
			∑			i j	l→∞		i j
			k =0
( ai j – определенное число, i, j =		) Sl l→∞→{ai j }= A ( i, j =				)	мат-
( ai j – определенное число, i, j =	1, n	) Sl l→∞→{ai j }= A ( i, j =		1, n		)	мат-
ричный ряд (1) сходится.
Определение. Пусть имеются матричные ряды
		∞
		∑Ak						(4)
		k =0
и
		∞
		∑Bk						(5)
		k =0
( Ak , Bk – квадратные матрицы порядка n). Матричный ряд
		∞
		∑Ck ,						(6)

k =0

где

Ck = A0 Bk + A1Bk −1 +K+ Ak B0 ,

называется произведением рядов (4) и (5).

Теорема. Если матричные ряды (4) и (5) мажорируются сходящимися положительными числовыми рядами, то их можно перемножать, т.е. ряд (6) в этом случае сходится, причем если A, B, C – суммы рядов (4), (5) и (6) соответственно, то

C = A B .

Пусть матричные ряды (4) и (5) мажорируются соответственно положительными числовыми рядами

	∞	~
	∑ak	~
	∑ak	( 4)
	k =0

	∞		~
	∑bk .
			( 5)
~	k =0	~	~
	~
Пусть a – сумма ряда ( 4) , b – сумма ряда ( 5) . Так как ( 4) и ( 5) – положитель-
ные сходящиеся ряды, то их можно почленно перемножать, т.е. ряд
	∞		~
	∑ck ,
			( 6)

k =0

где ck = a0bk +a1bk −1 +K+ak b0 , сходится, а его сумма c выражается через сум-

~ ~

мы рядов ( 4) и ( 5) по формуле

c= a b .

1)Покажем сначала, что матричный ряд (6) сходится. Имеем для любого k = 0,1, 2, K

Ck = A0 Bk + A1Bk −1 +K+ Ak B0 ≤ A0 Bk + A1Bk −1 +K+ Ak B0 ≤ ≤ n (a0bk +a1bk −1 +K+ak b0 ) = n ck

∞	∞
(здесь n – определенное число). У нас ряд ∑ck	сходится ряд ∑nck – схо-
k =0	k =0

дится. Видим, что матричный ряд (6) мажорируется числовым положительным

∞

сходящимся рядом ∑nck матричный ряд (6) сходится.

k=0

2)Покажем теперь, что C = A B . Обозначим через Sl(4) , Sl(5) и Sl(6) – l-е

частичные суммы матричных рядов (4), (5) и (6) соответственно. Имеем

Sl(4 ) Sl(5 ) = A0B0 + A0B1 + A0B2 + . . . + A0Bl +

C0 + A B		0	+ A B		1	+ A B	2	+ . . . + A B		l	+
	1	0		1	1	1	2		1	l
C1 + A2B0 + A2B1 + A2B2 + . . . + A2Bl +
C2	+ . . . . .					. . . . . .			. . +
	+ . . . . .					. . . . . .			. . +
	+ Al B0 + Al B1 + Al B2 + . . . + Al Bl .
Cl
Видим, что	Sl(6) = ∑l
	Sl(6) = ∑l			Ck		= Sl(4) Sl(5) − ∆l .					(7)
			k =0

Здесь ∆l – матрица порядка n;

∆l = A1Bl + A2 Bl −1 +K+ Al B1 + A2 Bl +K+ Al B2 +K+ Al Bl

( ∆l

– сумма всех матриц, стоящих под диагональю в выражении для Sl(4) Sl(5) ).

( 4 )

( 5 )

( 6 )

Обозначим через Sl

, Sl

l-е частичные суммы числовых рядов ( 4) ,

( 5) , ( 6) соответственно. Эти частичные суммы связаны соотношением

где

Sl( 6 )

= Sl( 4 ) Sl( 5 ) − ∆l ,

(8)

∆l = a1bl +a2bl −1 +K+al b1 +a2bl +K+al b2 +K+al bl .

Перейдем в (8) к пределу при l →

∞. Получим: c = a b − lim ∆l . Так как c = ab ,

l→∞

то lim ∆l = 0 . Имеем

l→∞

∆l

A1Bl

A2 Bl −1

+K+

Al B1

A2 Bl

+K+

Al B2

+K+

Al Bl

≤

≤ n (a1bl +a2bl −1 +K+al b1 +a2bl +K+al b2 +K+al bl ) = n ∆l

(n – определенное число)

∆l

→0 ∆l

→0 .

l→∞

l → ∞

Перейдем теперь

пределу

при

в соотношении (7).

Получим

lim

Sl(6) = A B −0

C = A B .

l→∞

Следствие. Пусть A и B – квадратные матрицы порядка n. Если матрицы A и

B коммутируют, то eA eB = eA+B . По определению имеем

∞		Ak
eA = ∑		Ak	,	(9)
eA = ∑		k !	,	(9)
k =0		k !
k =0
∞		B k
eB = ∑		B k	,	(10)
eB = ∑		k !	,	(10)
k =0		k !
k =0
∞	( A + B)k .
eA+B = ∑	( A + B)k .			(11)
k =0		k !
k =0

1) Покажем, что ряды (9) и (10) можно перемножать. Для этого достаточно убедиться, что каждый из них мажорируется сходящимся положительным чи-

словым рядом. Имеем при любом k N

A Ak −1

≤

Ak −1

A Ak −2

≤

k !

)k .

≤ n2

Ak −2

≤K≤ nk −1

k ≤

k !

∞	(n		A	)	k
∞					k
Ряд ∑					– числовой, положительный, сходящийся; его сумма равна
Ряд ∑					– числовой, положительный, сходящийся; его сумма равна
k =0		k !
k =0

en A . Он – мажорантный по отношению к матричному ряду (9).

Совершенно аналогично убеждаемся, что матричный ряд (10) мажорируется

∞

)

числовым положительным сходящимся рядом ∑

( = en

k !

k =0

Значит, ряды (9) и (10) можно перемножать. Перемножив матричные ряды

(9) и (10), получим

∞

A 0 Bk

Bk −1

Ak −1

eA eB = ∑

+K+

(12)

k !

−1)!

(k −1)!

k !

k =0 144444444424444444443

=Ck

Рассмотрим теперь общий член ряда (11). Так как матрицы A и B коммути-

руют, то

( A + B)k

k (k −1)

k !

Ak + kAk −1 B1 +

Ak −2

B 2 +K+ B k

k !

B0 +

Ak −1

+K+ A0

B k

= C .

k !

(k −1)!

k !

Видим, что когда матрицы A и B коммутируют, то ряды (11) и (12) совпада-

ют. Следовательно, eA eB = eA+B .

Частный случай. Пусть B = −A . Так как матрицы A и −A коммутируют, то eA e−A = eA+(−A) = e0 = E (eA )−1 = e−A .

§13. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами

Пусть имеется система

		y (x)
		1
где Y ( x) =	y2		(x)	, A = {ai j } (
где Y ( x) =		K		, A = {ai j } (

yn (x)

ла; x (−∞, +∞) .

Теорема. Матрица-функция


	dY		= A Y ,		(1)
	dx

i, j =				), ai j	– постоянные вещественные чис-
		1, n

Φ( x) ≡ eAx , x (−∞, +∞) ,

(2)

является фундаментальной матрицей решений системы (1).

1) Покажем сначала, что Φ( x) ≡ eAx ≡ (ϕ1( x),ϕ2 (x), K, ϕn ( x)) является

матрицей решений системы (1). В самом деле, имеем
dΦ( x)	≡	d	eAx ≡ A eAx ≡ A Φ(x) .	(3)
dx		dx

Из (3) следует, что тождественно равны соответствующие элементы матриц

dΦ(x) и

A Φ(x) ,

а, следовательно, тождественно равны соответствующие

столбцы этих матриц, т.е.

dϕ j ( x)

≡ A ϕ j ( x),

x (−∞, +∞) ( j =1, n) .

Это означает,

что Y = ϕ j (x) , x (−∞, +∞) ( j =

) –

решение системы (1), а

1, n

матрица-функция Φ( x) = (ϕ1( x),ϕ2 (x), K, ϕn ( x))

– матрица решений системы

(1).

Φ( x) = eAx = (ϕ1(x),ϕ2 (x), K, ϕn ( x)) – фундамен-

Покажем теперь,

что

тальная матрица решений системы (1). Для этого вычислим det Φ(x)

в точке

x = 0 . Имеем

det Φ(0) = det e0 = det E =1

(≠ 0)

ϕ1( x), ϕ2 ( x), K,

ϕn ( x)

линейно независимы

(−∞; +∞) .

Значит,

Φ( x) = eAx – ф. м. р. с. (1).

Следствие 1. Пусть точка

–

любая из

(−∞; +∞) .

Матрица-функция

= e

A( x −x

)

есть ф. м. р. с. (1), нормированная в точке x = x0 .

Φ( x)

Действительно, имеем: матрица-функция Φ( x) = eAx

– ф. м. р. с. (1). Мат-

рица

C = e−Ax0

–

постоянная,

неособая.

Следовательно,

= Φ( x) C = e

−Ax

– ф. м. р. с. (1). Матрицы Ax и −Ax0 коммутируют.

Φ( x)

Поэтому e

−Ax

= e

Ax −Ax

= e

A( x −x

)

A( x −x

)

– ф. м. р. с. (1).

Φ( x) = e

= E , т.е.

Имеем, далее, Φ( x0 ) = e

Φ( x) – нормированная в точке x = x0 .

Следствие 2. Пусть дана система

= A Y и дано начальное условие

=Y0 ,

(4)

x =x0

где x

– любое из R, Y

– любой из Rn . Решение задачи Коши (1) – (4) дается

формулой

Y = eA( x −x0 ) Y .

(5)

Матрица-функция eA( x −x0 ) – ф. м. р. с. (1), Y0 – постоянный вектор. Сле-

довательно,

Y = eA( x −x0 ) Y

–

решение

системы

(1).

Имеем:

Y (x0 ) = e0 Y0 = E Y0 =Y0 . Видим, что (5) – решение системы (1), удовлетво-

ряющее начальному условию (4). Замечание 1. Формула (5) называется общим решением системы (1) в фор-

ме Коши.

Замечание 2 (о группах решений системы (1), соответствующих клеткам Жордана нормальной формы матрицы A). Пусть J – жорданова форма матрицы

		λ j	0		0	K 0	0
		1	λ	j	0	K 0	0
J = diag[J1, J2				j	λ j K 0
J = diag[J1, J2	, K, Jm ], где J j =	0	1		λ j K 0		0	( j =1, m) .
		K K K K K K
		0	0		0	K 1
		0	0		0	K 1	λ j

Пусть S – неособенная матрица, такая, что

A = SJS −1 .

Было доказано, что

Φ( x) = eAx = eSJxS −1 = S eJx S −1

– ф. м. р. с. (1). Но тогда

Ψ(x) = Φ( x) S = S eJx

– тоже ф. м. р. с. (1). Имеем:

	eJ1x	0	K 0
	0	eJ2 x	K 0
Ψ(x) = S eJx = S	K K		K K	=
	0	0	K eJmx
	{	{	{
	n1	n2	nm
	столбцов столбцов		столбцов

		eJ1x					0				0
			0								0
			0			eJ2x					0
=	S		K	; S			K	;	K; S		K
			0				0
			0				0			eJ m x
		123				123				123
			n1				n2				nm
		столбцов			столбцов				столбцов

из всех решений системы (1), входящих в матрицу соответствующая клетке Жордана J j , имеет вид

Ψ( x ) , группа решений,

( j

=1, m) .

Выпишем эти группы решений в явном виде.

Для j =1

0 K 0

eJ1x

1 K 0

= (S1; S2; K; Sn )

K K K K K K

λ x

xn1−1

e 1

K K K x

(n1 −1)!

0 0 K 0 0

14243

( Здесь n1

решений)

K K K K K K

0 K 0

( S1, S2 , K, Sn – постоянные векторы). Тогда

n1−1

eλ1x = γ

( x) eλ1x ,

(x) = S

+ S

x + S

+K+ S

(n −1)!

n1−2

(x) = S

+ S

x +K+

eλ1x

γ′( x) eλ1x ,

(6 ) .

−2)!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ψn ( x) = Sn

eλ1x = γ1( n1−1)

( x) eλ1x

((61 ) – первая группа решений). Для j = 2 :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20143.89 Mб71Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20142.62 Mб68Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014136.7 Кб84Шпаргалка по диффурам.doc