Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
.pdfбудем искать интегралы системы (11) – открытые координатные октанты R3 с введенной системой координат Oxyz .
Из первого равенства (11) |
|
dx = dy находим |
y = C x , или |
y |
= C . Соотно- |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
yz |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
шение |
y |
= C |
|
является первым интегралом системы (11), а функция u ( x, y) = |
y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|||
– интегралом системы (11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из (11), воспользовавшись свойством равных отношений, находим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ydx + xdy |
= |
|
dz |
|
|
1 |
d( x y) = d |
( |
z |
2 |
+1 |
|
xy |
− |
z |
2 |
|
= 0 |
|
||||||||||
2xyz |
xy z2 +1 |
|
2 |
|
d |
2 |
|
+1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x, y, z) = xy − z2 + |
1 = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это еще один первый интеграл системы (11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
∂u1 ∂u2 |
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u1 |
|
∂u2 |
= |
|
0 − z |
|
|
= − x 1 + z2 |
≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂z |
|
|
|
1 + z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
во всех точках каждой из восьми областей, в которых рассматривается система
(11). Значит, интегралы u = |
y |
, u |
|
= xy |
− |
1+ z2 |
– независимые в каждом из |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
x |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
восьми октантов системы координат Oxyz . Следовательно, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U ( x, y, z) = |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= C |
|
= 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
xy |
|
− 1+ z2 |
|
|
C2 |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– общий интеграл системы (11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4. Найти интегралы системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
|
= |
|
|
dy |
|
= |
|
dz |
= dt . |
|
(12) |
||||
|
y + z |
|
z + x |
x |
+ y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
(12) – система трех дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций, записанная в симметрическом виде. Для отыскания интегралов системы (12) будем пользоваться свойством равных отношений.
Имеем, например,
dx − dy = dt |
d(x − y) + dt = 0 |
(x − y) t = C . |
(13) |
||
y − x |
t |
x − y |
t |
1 |
|
|
|
||||
Соотношение (13) |
является |
первым |
интегралом системы (12), |
а функция |
|
u1 = (x − y) t – интегралом системы (12). |
|
|
31
Имеем, далее, из (12) |
|
x + y + z |
|
|
|
d(x + y + z) = dt |
|
= C . |
(14) |
||
|
|||||
2( x + y + z) t |
|
t2 |
2 |
|
|
|
|
|
Соотношение (14) является еще одним первым интегралом системы (12), а
функция u |
= |
x + y + z |
|
– интегралом системы (12). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из (12) находим еще |
|
|
d(x − z) + dt = 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx − dz = dt |
|
(x − z) t = C . |
(15) |
||||||||||||||||||
|
|
z − x |
|
t |
|
|
|
x − z |
|
|
t |
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Соотношение (15) является первым |
интегралом |
системы (12), |
а функция |
||||||||||||||||||||
u3 = (x − z) t |
– интегралом системы (12). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u1 |
|
∂u1 |
|
|
∂u1 |
|
|
|
t |
−t 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂u2 ∂u2 ∂u2 |
|
= |
|
1 1 1 |
|
= −3 |
≠ 0 (t ≠ 0) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
t2 t2 t2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x ∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂u3 ∂u3 ∂u3 |
|
|
|
t |
0 −t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралы u1( x, y, z, t) , |
|
u2 (x, y, z, t), u3(x, y, z, t) |
– независимые всюду, где |
||||||||||||||||||||
определена система (12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§6. Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка
1°. Общий вид линейного уравнения с частными производными первого порядка такой:
n |
|
|
∂u |
|
|
|
|
||
∑ai (x1, x2 |
, K, xn ) |
+b(x1, x2 , K, xn ) u = f ( x1, x2 , K, xn ) . |
(1′) |
||||||
|
|||||||||
i=1 |
|
|
∂x |
i |
|
||||
|
|
|
|
||||||
Здесь: x1, x2 , K, |
xn |
– независимые переменные, u = u( x1, x2 , K, xn ) |
– неиз- |
||||||
вестная функция, |
ai ( x1, x2 , K, xn ) ( i = |
|
), b(x1, x2 , K, xn ), f ( x1, x2 , K, xn ) – |
||||||
1, n |
известные, заранее заданные функции. (Неизвестная функция u(x1, x2 , K, xn ) и
все ее частные производные входят в уравнение (1′) линейно.)
Общий вид квазилинейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка такой:
32
n |
∂u |
|
|
|
∑ai (x1, x2 , K, xn , u) |
= b( x1, x2 , K, xn , u) . |
(2) |
||
|
||||
i=1 |
∂xi |
|
(В уравнение входят линейно лишь частные производные неизвестной функции; сама же неизвестная функция u = u( x1, x2 , K, xn ) входит в (2) через по-
средство ai ( x1, x2 , K, xn , u) ( i = |
|
) и b(x1, x2 , K, xn , u) любым образом). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1, n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
I. Рассмотрим сначала уравнение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a (x |
, x |
|
, K, x |
n |
) |
∂u |
+a (x |
, x |
|
, K, x |
n |
) |
∂u |
+K+a |
n |
(x |
, x |
|
, K, x |
n |
) |
∂u |
= 0 . |
(1) |
||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 1 |
|
2 |
|
|
2 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
∂x |
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Предполагается, |
|
что |
ai ( x1, x2 , K, xn ) C(D), |
i = |
|
, и |
|
что |
|
в |
(D) |
|||||||||||||||||||||
|
1, n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a(a1, a2 , K, an ) ≠ (0, 0, K, 0) . Это – |
линейное однородное уравнение первого |
порядка с частными производными.
Построим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
|
dx1 |
|
|
= |
|
|
|
dx2 |
|
|
=K= |
|
|
|
dxn |
|
|
. |
(3) |
||||||
a ( x |
, x |
2 |
, K, x |
n |
) |
a |
2 |
( x |
, x |
2 |
, K, x |
n |
) |
a |
n |
( x |
, x |
2 |
, K, x |
n |
) |
||||
1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(3) называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующей уравнению (1). (3) – система (n −1) обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предполагаем, что (3) задана в области (D) Rn и что (D) – область единственности для системы (3).
Теорема 1. Пусть |
ψ1( x1, x2 , K, xn ) = C1 – первый интеграл системы (3) в |
(D). Тогда функция u |
= ψ1( x1, x2 , K, xn ) – решение уравнения (1) в (D). |
Возьмем в области (D) любую точку (x1, x2 , K, xn ) . Через нее проходит интегральная кривая системы (3). Вычислим du вдоль этой интегральной кри-
вой. Так как u = ψ1( x1, x2 , K, xn ) ≡ C1 |
вдоль интегральной кривой системы (3), |
|||||||||||
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то в точках этой кривой |
|
|
const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 dx + |
∂ψ1 dx |
|
|
∂ψ1 dx |
|
|
|
|||||
du = |
|
+K+ |
n |
= 0. |
(4) |
|||||||
|
∂x |
1 |
∂x |
2 |
|
2 |
|
∂x |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(В частности, (4) выполняется во взятой точке (x1, x2 , K, xn ) , а она – любая из
(D).)
Из (3) находим, например,
dx |
2 |
= |
a2 (x1, x2 |
, K, xn ) |
dx , |
K, |
dx |
n |
= |
an ( x1, x2 |
, K, xn ) |
dx . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a1( x1, x2 |
, K, xn ) |
1 |
|
|
|
a1( x1, x2 |
, K, xn ) |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив эти выражения для dx2 , K, dxn |
в (4), получим в каждой точке |
|||||||||||
(x1, x2 , K, xn ) (D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
a ( x |
, x |
|
, K, x |
n |
) ∂ψ1 +a |
|
( x |
, x |
|
|
, K, x |
n |
) |
∂ψ1 +K+a |
n |
(x |
, x |
|
, K, x |
n |
) ∂ψ1 |
= 0 |
|||||||||||||||
1 1 |
|
2 |
|
∂x |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
∂x |
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функция u = ψ1( x1, x2 , K, xn ) |
– решение уравнения (1) в области (D). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 2. Пусть |
|
|
|
|
ψ1(x1, x2 , K, xn ) = C1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ2 (x1, x2 , K, xn ) = C2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψn−1(x1, x2 , K, xn ) = Cn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
есть (n −1) независимых первых интегралов системы (3). Тогда: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) , где ψ – произвольная непрерывно дифференци- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
руемая функция, есть решение уравнения (1) в (D); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
Любое |
решение |
уравнения |
|
(1) |
|
|
|
в |
(D) |
|
представимо |
|
в виде |
||||||||||||||||||||||
u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
По условию, ψi ( x1, x2 , K, xn ) = Ci |
( i = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1, n −1) – первые интегралы систе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мы (3) в (D). Следовательно, по теореме 1, функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
u = ψ1( x1, x2 , K, xn ), |
|
u = ψ2 ( x1, x2 , K, xn ), K, |
|
|
|
u = ψn −1( x1, x2 , K, xn ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
являются решениями уравнения (1) в (D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a (x |
, x |
|
, K, x |
n |
) |
∂ψi |
+a (x |
, x |
|
, K, x |
n |
) ∂ψi +K+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
2 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+an (x1, x2 , K, xn ) ∂ψi |
= 0 |
|
в (D) |
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( i =1, n −1).
Пусть u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) , где ψ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Имеем:
|
|
|
|
∂u |
= |
|
|
∂ψ |
|
∂ψ1 |
+ |
|
|
∂ψ |
|
|
∂ψ2 |
+K+ |
|
|
∂ψ |
|
|
|
∂ψn−1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
1 |
|
|
|
∂x |
|
|
∂ψ |
2 |
|
|
|
∂x |
|
|
|
n−1 |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂u |
= |
|
|
∂ψ |
|
|
∂ψ1 + |
|
|
∂ψ |
|
|
∂ψ2 +K+ |
|
|
∂ψ |
|
|
∂ψn−1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
∂x2 |
|
|
|
∂ψ2 |
∂x2 |
|
|
|
|
|
∂ψn−1 |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂u |
= |
|
|
∂ψ |
|
∂ψ1 + |
|
|
∂ψ |
|
∂ψ2 +K+ |
|
|
∂ψ |
|
∂ψn−1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
∂xn |
|
|
|
∂ψ2 |
∂xn |
|
|
|
|
|
∂ψn−1 |
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
А тогда в области (D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
||||||||||||
a ( x |
, x |
|
, K, x |
n |
) |
∂u |
+a |
|
( x |
|
, x |
|
|
, K, |
x |
n |
) |
+K+a |
n |
(x |
, x |
|
, K, x |
n |
) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
= |
∂ψ |
|
a (x , x |
, K, x |
|
) |
∂ψ1 |
+a (x , x |
,K, x |
|
) |
∂ψ1 |
+K+ a (x , x |
,K, x |
|
) |
∂ψ1 |
|
+ |
|||||
∂ψ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 1 2 |
|
n |
|
∂x |
1 |
2 1 2 |
|
n |
|
∂x |
2 |
n |
1 2 |
|
n |
|
∂x |
n |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 (в силу (5))
+∂ψ a1(x 1,x2,K, xn ) ∂ψ2 +a2 (x1, x2 ,K, xn ) ∂ψ2 +K+an (x1, x2 ,K, xn ) ∂ψ2 + ∂ψ2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
(в силу (5)) |
. . . . . . . . . |
|
. |
+ |
|||||||
+ . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . |
|
|||||||||||||||||
+ |
∂ψ |
|
a (x ,x |
,K, x |
) |
∂ψn−1 |
+a (x ,x |
,K, x |
) |
∂ψn−1 |
|
+K+a (x ,x |
,K, x |
) |
∂ψn−1 |
|
=0 |
||
∂ψ |
∂x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 1 2 |
n |
|
2 1 2 |
n |
|
∂x |
2 |
|
n 1 2 |
n |
|
∂x |
n |
|
|||
|
n−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 (в силу (5))
u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) – решение уравнения (1) в области (D).
2)Пусть u = ψ~ ( x1, x2 , K, xn ) – любое решение уравнения (1) в области (D).
Покажем, что
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ψ(x1, x2 , K, xn ) = ψ(ψ1(x1, x2 , K, xn ), ψ2 (x1, x2 , K, xn ), K, ψn−1(x1, x2 , K, xn )). |
|||||||||||||||||||||
У |
нас u = ψ1( x1, x2 , K, xn ) , |
u = ψ2 ( x1, x2 , K, xn ) , |
|
|
K, |
|
u = ψn−1( x1, x2 , K, xn ) , |
||||||||||||||
|
~ |
, K, xn ) |
– решения уравнения (1) в области (D). Следовательно, в |
||||||||||||||||||
u = ψ( x1, x2 |
|||||||||||||||||||||
(D): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 a |
+ |
∂ψ1 a |
2 |
+K+ ∂ψ1 a |
n |
|
= 0, |
|
|
|||||||||
|
|
|
∂x1 |
1 |
|
∂x2 |
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂ψ2 a |
+ |
∂ψ2 a |
|
+K+ |
∂ψ2 a |
|
|
= 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
∂x1 |
1 |
|
∂x2 |
|
2 |
|
|
∂xn |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. . . . . . |
|
|
. . . . . . . |
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂ψn−1 a + ∂ψn−1 a |
|
+K+ ∂ψn−1 a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
= 0, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
∂x1 |
~ |
1 |
|
∂x2 |
|
|
2 |
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ a |
+ |
∂ψ a |
2 |
+K+ |
∂ψ a |
n |
|
= 0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂x1 |
1 |
|
∂x2 |
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(6) |
рассматриваем |
как |
систему |
|
уравнений |
|
относительно |
неизвестных |
|||||||||||||
a1, |
a2 , K, |
an . У нас a1( x1, x2 , K, xn ) , |
a2 (x1, x2 , K, xn ) , K, an (x1, x2 , K, xn ) не |
обращаются в нуль одновременно ни в одной точке, принадлежащей (D).
Но у системы (6) решения, отличные от чисто нулевого, существуют лишь тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. когда
35
|
|
∂ψ1 |
∂ψ1 |
K |
∂ψ1 |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
∂ψ2 |
∂ψ2 |
K |
∂ψ2 |
|
|
||
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
= 0 |
|
||
|
|
∂ψKn−1 ∂ψKn−1 |
K |
∂ψKn−1 |
|||||
|
|
∂x |
∂x |
|
K |
∂x |
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
||
|
|
∂ψ |
∂ψ |
K |
∂ψ |
|
|
||
|
|
∂x |
∂x |
2 |
∂x |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
|
, ψ2 , K, ψn −1 ) . |
|
|||
существует зависимость ψ = ψ(ψ1 |
|
Замечание. Функцию u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) , где ψ – произвольная непре-
рывно дифференцируемая функция, называют общим решением уравнения (1). II. Рассмотрим теперь уравнение вида:
n |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
∑ai (x1, x2 |
, K, xn , u) |
= b( x1, x2 , K, xn , u) . |
|
|
|
(2) |
||
∂xi |
|
|
|
|||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагается, |
что |
функции |
ai ( x1, x2 , K, xn , u) |
( i = |
|
) |
и |
|
1, n |
b(x1, x2 , K, xn , u) C1(D) , (D) Rn+1 ; a(a1, a2 , K, an ) ≠ (0, 0, K, 0) в (D). В (2) x1, x2 , K, xn – независимые переменные, u( x1, x2 , K, xn ) – неизвестная функ-
ция.
Введем в рассмотрение вспомогательное уравнение
|
a ( x |
, x |
|
, K, x |
n |
, u) |
∂v |
+a |
|
( x , x |
|
, K, x |
n |
, u) |
∂v |
+K+ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|||||||||||||||||||||
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, u) ∂v = 0. |
( 2) |
|||
|
+a |
n |
(x |
, x |
2 |
, K, x |
n |
, u) |
|
+b( x |
, x |
2 |
, K, |
x |
n |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
1 |
|
|
|
|
|
∂u |
|
|||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, K, |
xn , |
u |
– независимые переменные, |
|
v ( x1, x2 , K, xn , u) |
– неиз- |
||||||||||||||||||||||
В ( 2) x1, x2 |
|
вестная функция.
Видим, что |
~ |
– линейное однородное дифференциальное уравнение с ча- |
( 2 ) |
стными производными относительно неизвестной функции v ( x1, x2 , K, xn , u).
(Уравнение такого вида было рассмотрено в пункте I.)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнению ( 2) , будет такой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
du |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
=K= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. ( 3) |
|
a ( x , K, |
x |
n |
, u) |
a |
2 |
(x |
, K, x |
n |
, u) |
a |
n |
( x |
, K, x |
n |
, u) |
b( x , K, x |
n |
, u) |
||||
1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
~ |
|
|
|
( 3) – система n обыкновенных дифференциальных уравнений. Предполагается, |
|||
~ |
( D) R |
n+1 |
и что (D) – область единственности для |
что ( 3) задана в области |
|
~ . ( 3 )
36
ψ = ~
Пусть 1( x1, x2 , K, xn , u) C1 – первый интеграл системы ( 3) в (D). Тогда (см. теорему 1) функция
v = ψ1( x1, x2 , K, xn , u)
~
является решением вспомогательного уравнения ( 2) . Следовательно,
|
a ( x , x |
2 |
, K, |
x |
n |
, u) |
∂v |
+a |
2 |
( x |
, x |
2 |
, K, |
x |
n |
, u) |
∂v |
|
+K+ |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
1 |
|
|
|
|
|
∂x2 |
~ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, u) ∂v = 0 |
( 4 ) |
||||||
+a |
n |
(x , x |
2 |
, K, x |
n |
, u) |
+b( x , x |
2 |
, K, x |
n |
в ( D). |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
1 |
|
|
|
|
|
∂u |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеет место
Теорема 3. Неявная функция u( x1, x2 , K, xn ), определяемая соотношением
ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = 0 ,
является решением уравнения (2).
Пусть u( x1, x2 , K, xn ) – неявная функция, определяемая соотношением
ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = 0 . Тогда, как известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
= − |
|
∂x1 |
; |
|
|
|
|
|
= − |
∂x2 |
; |
|
|
K, |
|
|
|
|
|
= − |
∂xn |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставив эти выражения для |
∂u |
, |
|
|
∂u |
, |
K, |
|
∂u |
|
в уравнение (2), получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
−a (x , K, x |
n |
, u) |
|
|
|
∂x1 |
|
−a |
2 |
(x |
, K, |
x |
n |
, u) |
|
∂x2 |
|
|
−K− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−a |
n |
( x , K, x |
n |
, u) |
−b( x , K, |
x |
n |
, u) |
∂u |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, K, xn ,u) ∂ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
∑ai ( x 1, x2 |
+b( x 1, x2 , K, xn |
,u) |
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ψ1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|||||||||
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
в силу |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D ), |
|
( 4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Видим, что |
неявная |
функция |
|
|
|
u( x1, x2 , K, xn ), |
|
|
определяемая соотношением |
ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = 0 , действительно является решением уравнения (2). Пусть
37
ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = C1, ψ2 (x1, x2 , K, xn , u) = C2 ,
. . . . . . . . .
ψn (x1, x2 , K, xn , u) = Cn
~
– независимые первые интегралы системы ( 3) . Тогда (см. теорему 2) функция v = ψ(ψ1(x1, x2 , K, xn , u), ψ2 ( x1, x2 , K, xn , u), K, ψn ( x1, x2 , K, xn , u)),
где ψ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является реше-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нием вспомогательного уравнения ( 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Имеет место |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теорема 4. Неявная функция u( x1, x2 , K, xn ), определяемая соотношением |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ψ(ψ1( x1, x2 , K, xn , u), ψ2 (x1, x2 , K, xn , u), K, ψn ( x1, x2 , K, xn , u))= 0 , |
|
~ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( 5 ) |
|||||||||||||||||||||||||||
является решением уравнения (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пусть |
u( x1, x2 , K, xn ) – неявная функция, определяемая соотношением |
|||||||||||||||||||||||||||
~ |
ψ(ψ1(x1, K, xn , u), K, ψn ( x1, K |
, xn , u))= 0 . |
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
|
|
∂u |
|
||||||||||||||
( 5) |
Найдем |
|
|
|
, |
|
|
, |
K, |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
∂x1 |
∂x2 |
|
∂xn |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы найти |
|
|
, продифференцируем по x1 обе части ( 5) . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
∂ψ1 + |
∂ψ1 |
|
∂u |
|
∂ψ |
|
∂ψ2 + |
∂ψ2 |
∂u |
|
|
∂ψ |
|
|
∂ψn + |
∂ψn |
|
∂u |
|
= 0 |
|
||||||
|
|
|
+ |
|
+K+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∂ψ1 |
∂x1 |
|
∂u |
|
∂x1 |
∂ψ2 |
∂x1 |
∂u |
∂x1 |
|
∂ψn |
|
∂x1 |
|
∂u |
|
|
∂x1 |
|
|
|
∂u
∂x1
|
|
∂ψ |
|
∂ψ1 |
+ |
∂ψ |
|
∂ψ2 |
+K+ |
∂ψ |
|
∂ψn |
|||
= − |
∂ψ |
1 |
∂x |
|
∂ψ |
2 |
|
∂x |
|
∂ψ |
n |
|
∂x |
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
||||||
|
|
∂ψ |
|
∂ψ1 |
+ |
∂ψ |
|
∂ψ2 |
+K+ |
∂ψ |
|
∂ψn |
|||
|
|
∂ψ1 |
∂u |
|
∂ψ2 |
|
∂u |
|
∂ψn |
|
∂u |
|
n |
∂ψ |
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
j |
|
|
|
∂ψ |
j |
∂x |
||||||
= − |
j =1 |
|
|
1 |
. |
|||
n |
∂ψ |
|
|
|||||
|
|
∂ψ |
j |
|||||
|
∑ |
|
|
|
|
|||
∂ψ |
j |
∂u |
|
|
|
|||
|
j =1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно аналогично находим:
|
|
n |
∂ψ |
|
∂ψ |
j |
||
|
|
∑ |
|
|
|
|
||
∂u |
∂ψ j |
∂x2 |
|
|||||
= − |
j =1 |
|
, |
|||||
∂x2 |
∑ ∂ψ |
|
|
|||||
|
∂ψ j |
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
∂ψ |
j |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив эти выражения для ∂u ,
∂x1
|
|
|
|
|
|
n |
∂ψ |
|
∂ψ |
j |
||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
||
|
|
|
∂u |
∂ψ j |
∂xn |
|
||||||
K, |
|
= − |
j =1 |
|
. |
|||||||
|
∂xn |
∑ ∂ψ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂ψ j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
∂ψ |
j |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂u |
, K, |
∂u |
|
в уравнение (2), получим: |
||||||||
|
∂xn |
|||||||||||
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂ψ |
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂ψ |
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
j |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
j |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−a ( x , K, x |
n |
, u) |
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−a |
2 |
( x , K, x |
n |
, u) |
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−K− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂ψ |
|
∂ψ |
j |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂ψ |
|
|
|
∂ψ |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
j |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
j |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂ψ |
|
|
∂ψ |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
∂ψ |
|
|
∂ψ |
|
j |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
−a |
|
(x , K, x |
|
, u) |
j =1 |
j |
|
n |
|
−b(x , K, x |
|
|
, u) |
j =1 |
j |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂ψ |
|
|
∂ψ |
j |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
∂ψ |
|
|
∂ψ |
|
j |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψj |
|
|
|||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑i=1 ai ( x1,Kxn ,u) |
|
|
+ b( x1, Kxn ,u) |
|
|
|
= 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
∂ψ |
|
|
∂ψj |
|
|
|
∂ψj |
∂xi |
|
|
∂u |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ψj |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 в (D ), |
|
j =1, n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∑ai( x1, x2 , Kxn ,u) ∂ψ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1, n , так |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+b( x1, x2 , Kxn ,u) ∂ψ j |
= 0 для любого |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
как v = ψ j ( x1, x2 , K, xn , u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1, n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
– решения уравнения ( 2) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что неявная функция u( x1, x2 , K, xn ), определяемая соотношением
~
( 5) , действительно является решением уравнения (2).
~ ψ
Функцию u( x1, x2 , K, xn ), определяемую соотношением ( 5) , в котором –
произвольная непрерывно дифференцируемая функция, называют общим решением уравнения (2).
Пример 1. Найти общее решение уравнения
(x − z) ∂∂ux +( y − z) ∂∂uy +2z ∂∂uz = 0 .
u = u( x, y, z) – неизвестная функция. Заданное уравнение – линейное од-
нородное. Строим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую заданному уравнению:
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
dy |
= dz . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x − z |
y − z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|||
Пользуясь свойством равных отношений, найдем интегралы этой системы |
|
|||||||||||||||
1) |
dx |
= |
dy |
= |
2dz |
|
d(x + y +2z) |
= |
dz |
|
(x + y +2z)2 |
= C |
– это |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x − z |
|
y − z |
|
4z |
|
x + y +2z |
|
|
2z |
|
z |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первый интеграл системы.
39
|
|
dx |
|
d(−y) |
|
dz |
|
|
d(x − y) |
|
|
dz |
|
|
(x − y)2 |
|||||
2) |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= C – это еще один |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x − z |
|
z − y |
|
2z |
|
|
x − y |
|
|
|
2z |
|
|
z |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
первый интеграл системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Общее решение заданного уравнения будет таким: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u = ψ |
|
( x + y +2z)2 |
, |
( x − y)2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь ψ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция. |
||||||||||||||||||||
Пример 2. Найти общее решение уравнения |
|
|
~ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
∂z |
− xz |
∂z |
= ez . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
(1 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z (x, y) – неизвестная функция. Заданное уравнение (1 ) – квазилиней- |
|||||||||||||||||||
ное. Вводим в рассмотрение вспомогательное уравнение |
~ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yz |
∂v |
− xz |
∂v |
|
+e |
z |
∂v |
= 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
∂z |
( 2) |
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z – независимые переменные, |
v ( x, y, z) – |
неизвестная функция. |
|||||||||||||||
В ( 2) x, y, |
||||||||||||||||||||
Уравнение |
( |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) – линейное однородное относительно неизвестной функции |
v ( x, y, z) .
Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответ-
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствующую уравнению ( 2) : |
dx |
|
dy |
|
dz |
|
~ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
= |
|
|
|
= ez . |
|
( 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−xz |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем интегралы системы ( 3) : |
|
x dx + y dy |
= dz |
|
|||||||||||||
1) dx |
= |
dy |
|
|
x dx |
= |
y dy |
|
|
|
x dx + y dy = 0 |
||||||
−xz |
|
xyz |
−xyz |
|
|
|
0 |
||||||||||
yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
~ |
|||||||
d( x2 + y2 ) = 0 |
x2 + y |
2 = C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
– первый интеграл системы ( 3) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dx |
= dz . Воспользуемся найденным первым интегралом. Будем иметь |
||||||||||||||||
yz |
|
ez |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +(z +1) e−z = C |
|||
|
|
|
|
|
= ze−z dz |
arcsin |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
C − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
+(z +1) e−z = C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~
– это другой первый интеграл системы ( 3) .
~
Общее решение вспомогательного уравнения ( 2) будет таким:
40