Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

U(x,ϕ( x))≡ 0, x a, b .

Для этого берем произвольную точку

и находим ϕ( x0 ) =Y0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Так как (x, ψ1(x)) ( D) для любого x (α2 ,β2 ) , то F (x, ψ1(x)) C((α2 ,β2 )) и,

следовательно, ∫F (x, ψ1(x))dx существует ( ψ 2 ( x ) – “второе” приближение).

Имеем

ψ′2 (x) = F (x, ψ1(x)) ψ′2 (x0 ) = F (x0, ψ1(x0 ))= F( x0 ,Y0 ) ;

ψ2 ( x0 ) =Y0 ,

то есть кривая Y = ψ2 ( x ) проходит через точку (x0,Y0 ) и такая, что

Y ′( x0 ) = ψ′2 ( x0 ) = F ( x0 ,Y0 ) .

Продолжая этот процесс аналогичным образом дальше, получим

ψk (x) =Y0 + ∫F (x, ψk −1( x))dx, x (αk ,βk ) ,

где k N , k > 2 ; (αk ,βk ) – некоторый интервал, содержащий точку x0 и такой,

что точка (x, ψk −1(x)) (D)

для любого x (αk ,βk ) ( ψ k ( x ) – k-е приближе-

ние). И здесь кривая Y = ψ k ( x ) проходит через точку

(x0,Y0 ) и такая, что

Y ′( x0 ) = ψ′k ( x0 ) = F ( x0 ,Y0 ) .

Лемма (о приближениях Пикара). Пусть числа a > 0 ,

b > 0 – такие, что па-

раллелепипед

(

Pab ) = {(x,Y ),

x − x0

≤ a;

Y −Y0

≤ b} ( D) .

F(x,Y )

Пусть

M = max

h = min a,

. Тогда все приближения Пикара

( Pab )

ψ k ( x ) ,

k = 0,1, 2, K определены и непрерывны на отрезке I =[x0 − h, x0 + h] и

удовлетворяют неравенству

ψk (x) −Y0

≤ b , x I . (Это означает, что графики

вектор-функций Y = ψ k ( x ) ,

x I , k = 0,1, 2, K лежат целиком в (

Pab ) .)

Рассмотрим Y = ψ0 ( x ) ( ψ 0 ( x ) ≡ Y0 , x R ). Это приближение опреде-

лено и непрерывно на всей вещественной оси; следовательно, оно определено и непрерывно на отрезке I. Для x I имеем

ψ0 (x) −Y0 = Y0 −Y0 ≤ b .

Допустим, что Y = ψ k −1( x ) определено и непрерывно на I и удовлетворяет неравенству:

ψk −1( x) −Y0 ≤ b, x I .

Имеем тогда

ψk ( x) =Y0 + ∫F (x, ψk −1( x))dx .

Точки (x, ψk −1(x)) ( Pab ), для любого x I F (x, ψk −1(x)) C( I ) как суперпозиция непрерывных функций ψ k ( x ) C( I ) .

Имеем далее, для x I

ψk (x) −Y0 = ∫F (x, ψk −1(x))dx ≤

≤

∫

F (x, ψk −1(x))

≤ M

∫dx

= M

x − x0

≤ M h ≤ b ,

ибо h ≤

k −1 к k сделан. Для ψ0 ( x ) утверждение леммы

Видим, что переход от

проверено непосредственно. В силу перехода от k −1 к k, утверждение леммы будет справедливо для ψ k ( x ) , где k =1, 2, K .

2°. Лемма Гронуола. Пусть

1)f ( x) C( a, b );

2)f ( x) удовлетворяет на a, b неравенству

0 ≤ f ( x) ≤ λ +µ ∫ f (t) dt ,

где λ ≥ 0 , µ > 0 – постоянные числа.

Тогда справедливо неравенство

0 ≤ f (x) ≤ λeµ x−x0 , x a, b .

Доказательство проведем для x [x0 , b ; для x a, x0 ] оно аналогичное.

1-й случай: λ > 0 .

Имеем по условию: 0 ≤ f (x) ≤ λ +µ∫ f (t) dt ,								x [x0 , b . Положим
x						x0
x									g(x) C1([x0 , b );
g(x) = λ +µ∫ f (t) dt ,				x [x0 , b .	Нетрудно		понять,	что	g(x) C1([x0 , b );
x0
g(x0 ) = λ > 0 . Имеем g′(x) = µ f (x) ≥ 0,						x [x0 , b		g(x)	– неубывающая
на промежутке [x0 , b				g(x) ≥ λ > 0,		x [x0 , b .
Так как	g′(x) = µ f (x) , а				f (x) ≤ g(x) ,		x [x0 , b , то		g′(x) ≤ µ g(x) ,
x [x0 , b		g′(x)	≤ µ, x [x0 , b . Проинтегрировав последнее неравенство по
x [x0 , b			≤ µ, x [x0 , b . Проинтегрировав последнее неравенство по
		g(x)

отрезку [x0 , x] [x0 , b , получим

ln	g( x)	≤ µ (x − x0 ), x [x0 , b	g( x)	≤ eµ( x−x0 )
	g(x0 )		g(x0 )

g( x) ≤ 123g(x0 ) eµ( x−x0 ) = λ eµ( x−x0 ) .

=λ

Следовательно, и подавно 0 ≤ f (x) ≤ λeµ( x−x0 ) , x [x0 , b .

2-й случай: λ = 0 .

Имеем по условию в этом случае 0 ≤ f (x) ≤ µ∫ f (t) dt , x [x0 , b . Возьмем

последовательность чисел {λn}n N – любую, но такую, что λn > 0 для любого

n N и λn n→∞→0 . Для любого n N будем иметь

0 ≤ f (x) < λn +µ∫ f (t) dt, x [x0 , b .

Так как функция f (x) удовлетворяет последнему неравенству, то получаем

предыдущий случай. Следовательно, будем иметь:

0 ≤ f (x) ≤ λn eµ( x−x0 ) , x [x0 , b , n N – любое.

Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞ и приняв во внимание, что

λn →0 , получим
n→∞
			f (x) ≡ 0, x [x0 , b .
Видим, что и в этом случае лемма доказана.							dY
3°.	Теорема	Пикара.	Пусть		имеется	система	dY	= F(x,Y ) . Пусть
3°.	Теорема	Пикара.	Пусть		имеется	система		= F(x,Y ) . Пусть
F( x,Y ) C( D) , (D) Rn+1 . Пусть							dx
F( x,Y ) C( D) , (D) Rn+1 . Пусть					F( x,Y ) Lip (D) –		локально. Тогда для
	точки (x0 ,Y0 ) ( D)					Y
любой	точки (x0 ,Y0 ) ( D)		задача		(1) –	(2) имеет	решение Y = ϕ( x) ,
x [x0	− h, x0 + h],		b
		h = min a,		, причем это решение задачи (1) – (2) единст-
		h = min a,		, причем это решение задачи (1) – (2) единст-
			M

венно.

(x0 ,Y0 ) ( D) . По

Возьмем

произвольную

точку

условию,

F( x,Y ) LipY (D)

– локально

существует

Uδ( x0 ,Y0 ) ,

такая, что

( x

,Y ) ( D), и F( x,Y ) Lip U

,Y )

. Пусть L > 0

– постоянная Лип-

Y (

0 )

шица для F(x,Y )

в Uδ( x0 ,Y0 ) . Возьмем числа a, b ( a > 0 , b > 0 ) такие, что

(Pab ) Uδ(x0 ,Y0 ). Пусть M = max

F(x,Y )

h = min a,

. По лемме, дока-

( Pab )

занной выше, все приближения Пикара

ψ0 (x) ≡Y0 , ψk (x) =Y0 + ∫F (x, ψk −1(x))dx (k =1, 2, K)

определены и непрерывны на отрезке I =[x0 − h, x0 + h] и удовлетворяют условию

ψk (x) −Y0 ≤ b .

1) Покажем, что {ψk ( x)}k N сходится равномерно относительно x на I. Для этого рассмотрим функциональный ряд

ψ0 (x) +[ψ1(x) −ψ0 (x)]+K+[ψk (x) −ψk −1(x)]+K .

(3)

Замечаем, что S0 ( x) = ψ0 ( x) , S1( x) = ψ1( x), ... , Sk ( x) = ψk ( x) , ... . Значит, равномерная сходимость последовательности {ψk ( x)}k N , x I , равносильна рав-

номерной сходимости ряда (3) на I. Установим равномерную сходимость ряда

(3) на I. Для этого произведем оценку членов ряда (3). Имеем

ψ0 (x) = Y0 , x I .

ψ1(x) −ψ0 (x)

ψ1(x) −Y0

∫F ( x,Y0 ) dx

≤

∫

F( x,Y )

≤ M

x − x

≤ M h =

( Lh), x I .

Имеем, далее:

≤ ∫

x 0

ψ2 (x) −ψ1(x)

∫(F

(x, ψ1(x))− F (x, ψ0 ( x)))dx

≤

F (x, ψ1(x ))

− F(x,ψ0 ( x ))

≤ L

∫

ψ1(x ) − ψ0 ( x )

≤

14243

( •) ( Pab )

≤M

x −x0

− x0

(L h)2

≤ L M

∫

x − x0

= L M

≤

x I .

Допустим, что

Lk hk

ψk (x) −ψk −1(x)

≤

x − x0

k ≤

x I .

(4)

k !

Но тогда

(F (x, ψk ( x))− F (x, ψk −1(x)))dx

ψk +1(x) −ψk (x)

∫

≤

F (x, ψk ( x))− F (x, ψk −1( x))

≤

∫

≤ L

∫

ψk (x) −ψk −1(x)

≤

k +1

≤

∫

x − x0

k dx

≤

x − x0

k +1 ≤

( L h)

x I .

(k +1)!

Видим, что переход от k к k +1 сделан. Значит, оценка (4) справедлива на I для любого k N . Введем в рассмотрение ряд

( Lh)

(Lh)2

+K+

(Lh)k

+K .

(5)

Ряд (5) – числовой, положительный, сходящийся. Он является мажорантным для ряда (3) на I функциональный ряд (3) сходится равномерно на I.

Пусть ϕ ( x ) , x I – сумма ряда (3). Имеем Sk (x) →→	ϕ(x),	x I
k→∞
ψk ( x) →→ ϕ(x), x I .		(6)
k→∞
Так как ψk ( x) C( I ) , то из (6) ϕ( x) C( I ) .

2)Покажем, что вектор-функция Y = ϕ( x) , x I , является решением задачи

(1)– (2). Для этого берем k-е приближение Пикара

ψk ( x) =Y0 + ∫F (x, ψk −1(x))dx,

x I .

(7)

Было показано, что ψk ( x) →→

ϕ(x) , x I . Покажем теперь, что

k→∞

F (x, ψk −1(x))→→ F (x,ϕ(x)),

x I .

k→∞

Возьмем любое ε > 0 . У нас F( x,Y ) C(

равномерно непре-

Pab ) F(x,Y )

рывная в (

взятому ε > 0

отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое,

Pab )

~ ~

< δ,

что для любых двух точек (x ,Y ) и (x ,Y ) из (Pab ) , для которых

− x

< δ, будет

~ ~

→

ϕ(x) , x

по

−Y

F ( x ,Y ) − F ( x ,Y )

< ε. У нас ψk −1(x) →

k→∞

числу δ > 0 (найденному по ε) можно указать номер K такой, что как только

k > K , так сейчас же

< δ, для всех x I .

ψk −1( x) −ϕ(x)

Но тогда при k > K будет

F (x, ψk −1( x))− F (x,ϕ( x)) < ε, для всех x I .

Последнее означает, что	F (x, ψk −1(x))→→ F (x,ϕ( x)),		x I . Перейдем в
	k→∞
соотношении (7) к пределу при k → +∞. Получим:
	x
ϕ(x) =Y0 + ∫F (x,ϕ( x))dx,		x I .	(8)
Из (8) следует:	x0
Из (8) следует:	ϕ′(x) = F (x,ϕ( x)),
1)	ϕ′(x) = F (x,ϕ( x)),	x I;
	ϕ( x0 ) =Y0.
2)	ϕ( x0 ) =Y0.

Аэто означает, что Y = ϕ( x) , x I – решение задачи (1) – (2).

3)Покажем теперь, что это решение – единственное. Рассуждаем от противного, а именно предполагаем, что задача (1) – (2) имеет и другие решения. Возьмем тогда два любых решения задачи (1) – (2):

~		~
Y = ϕ(x), x Iδ		; Y = ϕ(x), x Iδ .
	~		~

По условию F (x,Y ) LipY (D) – локально точке (x0 ,Y0 ) отвечает окрест-
ность	U(x0 ,Y0 ) (D) такая, что	F (x,Y ) LipY (U(x0 ,Y0 )). У нас функции
~	~
ϕ( x) ,	ϕ(x) – непрерывные. Значит, существует δ > 0 такое, что для любого
x Iδ	~	~	~
x Iδ	будет: точка (x,ϕ(x)) и точка (x,ϕ(x))		U(x0 ,Y0 ) . Так как Y = ϕ( x) и
~
Y = ϕ(x) – решения задачи (1) – (2), то
	~	~	x Iδ ,
	ϕ′(x) = F	(x,ϕ(x)),	x Iδ ,
	~	~	x Iδ .
	ϕ′(x) = F	(x,ϕ(x)),	x Iδ .

Проинтегрируем оба этих соотношения по отрезку [x0, x], x Iδ. Получим

~	~	x
		~

ϕ(x) = ϕ(x0 ) + ∫F (x,ϕ( x))dx,

~	~	x	~

ϕ( x) = ϕ(x0 ) + ∫F (x,ϕ(x))dx, x Iδ
		x0

x Iδ

ϕ(x) −ϕ(x) = ∫(F

(x,ϕ( x))− F

(x,ϕ( x)))dx,

≤

≤ L

ϕ(x) −

ϕ(x)

∫

F (x,ϕ( x))− F (x,ϕ(x))

∫

ϕ( x)

−ϕ( x)

(здесь L – постоянная Липшица). Обозначим

= f (x) , x Iδ. Будем

ϕ(x) −ϕ(x)

иметь:

1) f ( x) C( Iδ );

		x
2) f (x ) удовлетворяет неравенству: 0 ≤ f ( x) ≤ L		∫ f (t ) dt	, x Iδ.
		x0
Но тогда по лемме Гронуола	~
~	~

f ( x) ≡ 0, x Iδ ϕ(x) = ϕ( x), x Iδ.

Следствие. Пусть F( x,Y ) C( D) , (D) Rn+1 . Пусть ∂F∂(Yx,Y ) C(D) . То-

гда для любой точки (x0 ,Y0 ) ( D) задача (1) – (2) имеет единственное решение.

Замечание. Так как ряд (3) на отрезке I мажорируется числовым, положительным, сходящимся рядом (5), то, полагая ϕ( x ) ≈ ψk ( x ) , x I , всегда можно

оценить погрешность этого приближения. Именно: норма упомянутой погрешности не превосходит остатка после k-го члена мажорантного ряда (5).

§4. Общее решение и общий интеграл нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1°. Пусть имеется нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений:

	dY	= F(x,Y ) .	(1)
	dx	= F(x,Y ) .	(1)
	dx
Предполагается, что 1) F( x,Y ) C( D) , (D) Rn+1 , и 2)			F( x,Y ) Lip (D) –
			Y

локально.

Определение. Семейство вектор-функций

Y = ϕ( x,C ) , где C = C2 (2)

– произвольный постоянный вектор, называется общим решением системы (1) в области (D), если, во-первых, для любой точки (x0 ,Y0 ) ( D) векторное

уравнение

Y0 =ϕ( x0 ,C)

(3)

имеет одно единственное решение C = C

, и если, во-вторых, вектор-

функция

[Iδ = ( x0 −δ, x0 +δ)]

Y = ϕ( x,C0 ),

x Iδ

(4)

является решением системы (1), хотя бы при достаточно малом δ.

Ясно, что это решение (4) удовлетворяет начальному условию: Y

x=x0

=Y0 .

u (x,Y )

Определение. Пусть U( x,Y ) = u2 ( x,Y ) C1( D) , и пусть C = C2

– про-

. .

un ( x,Y )

извольный постоянный вектор. Соотношение:

U( x,Y ) = C

(5)

называется общим интегралом системы (1) в (D), если, во-первых, для лю-

бой точки (x0 ,Y0 ) ( D) векторное уравнение

U( x,Y ) =U( x0 ,Y0 )

(6)

определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию

Y = ϕ( x),

x Iδ = (x0 −δ, x0 +δ) ,

(7)

такую, что: ϕ( x0 ) =Y0 ; U(x,ϕ( x))=U( x0 ,Y0 ) ,

x Iδ, и если, во-вторых, эта

вектор-функция Y = ϕ( x ) , x Iδ, хотя бы при достаточно малом δ является решением системы (1).

2°. Необходимый признак общего интеграла.

Теорема. Пусть U( x,Y ) = C – общий интеграл системы (1) в области (D). Тогда для любого решения Y = ϕ( x ) , x a, b системы (1), график которого лежит в (D), справедливо тождество:

U(x,ϕ( x))≡ const, x a, b .

Пусть	~	x a, b	– произвольное решение системы (1), график
	Y = ϕ( x ) ,
которого лежит в		(D). У	нас	1	( D),	~	1	( a, b )
				U( x,Y ) C		ϕ(x) C

U(x,ϕ~ ( x)) C1( a, b ).

Мы покажем, что U(x,ϕ( x))≡ const , x a, b , если установим, что

что точка (x0 ,Y0 ) ( D) . Рассмотрим теперь векторное уравнение

U( x,Y ) =U( x0,Y0 ).

По определению общего интеграла системы (1) это уравнение определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию Y = ϕ( x ) , x Iδ, такую, что

ϕ( x0 ) =Y0 , и которая при достаточно малом δ является решением системы (1).

Ясно, что для x Iδ будет
U(x,ϕ( x))≡U(x0 ,Y0 ) .	(8)

Имеем:

1)Y = ϕ( x ) , x a, b , – решение системы (1), такое, что ϕ( x0 ) =Y0 ;

2)Y = ϕ( x ) , x Iδ, – решение системы (1), такое, что ϕ( x0 ) =Y0 .

Видим, что оба эти решения удовлетворяют одному и тому же начальному условию:

x=x0

=Y0 ,

(x0 ,Y0 ) (D) .

Так как (D) – область единственности системы (1), то ϕ( x ) ≡ ϕ( x ) , x Iδ, по

крайней мере,

при

достаточно

малом δ. А

тогда,

силу (8),

U(x,ϕ( x))≡U( x0

,Y0 ),

x Iδ

U(x,ϕ( x))≡ 0, x

Iδ

в частности,

U(x,

ϕ( x))

= 0.

x=x0

У нас точка x0 – любая из a, b

( a, b

– промежуток, на котором опреде-

лено решение Y = ϕ( x ) системы (1)). Поэтому получаем

(x,ϕ( x))≡ 0,

x a, b .

u1(x,Y )

Следствие. Если U( x,Y ) = u2 ( x,Y ) = C – общий интеграл системы (1) в

. . .un ( x,Y )

(D), то для любого решения Y = ϕ( x ) ,	x a, b , системы (1) справедливы тож-
дества
ui (x,ϕ(x))≡ const,	x a, b (i =		) .
		1, n

Определение. Скалярная функция u(x,Y ) C1(D) называется интегралом системы (1) в (D), если она тождественно обращается в постоянную на любом решении системы (1), график которого лежит в (D).

Замечание. Любая скалярная функция u(x,Y ) ≡ const в (D) есть интеграл системы (1) в (D) (это – “тривиальные интегралы”; их мы рассматривать не будем).

3°. Критерий интеграла.

Теорема. Скалярная функция u(x,Y ) C1(D) является интегралом системы

(1) в (D) тогда и только тогда, когда справедливо тождество

∂u( x,Y ) + ∂u(x,Y ) F(x,Y ) ≡ 0 в (D). (9)

∂x ∂Y

f1(x,Y )

(Здесь

∂u( x,Y )

∂u

, K,

∂u

– матрица-строка,

F( x,Y ) =

f2 (x,Y ) –

∂y

∂Y

∂y

fn (x,Y )

∂u( x,Y )

∂u(x,Y )

матрица-столбец, так что

F( x,Y ) =

∑

f j (x,Y ) ).

∂Y

∂y

j=1

Необходимость. Дано: u(x,Y ) C1(D) является интегралом системы (1) в

(D). Требуется доказать, что в (D) имеет место тождество (9).

Возьмем

любую

точку (x0 ,Y0 ) ( D) и

рассмотрим

решение

Y = ϕ( x ) ,

x Iδ = ( x0 −δ, x0 +δ)

системы (1),

удовлетворяющее условию Y

x=x0

=Y0

(

ϕ( x0 ) =Y0 ). Станем рассматривать функцию u( x,Y )

на этом решении.

По определению интеграла системы (1), будем иметь:

u(x,ϕ( x))≡ const,

x Iδ .

(10)

Левая

часть

тождества

(10)

дифференцируема

по

на Iδ ,

так

как

u(x,Y ) C1(D) , ϕ( x) C1( Iδ ) . Дифференцируя по x тождество (10), получим
	∂u(x,ϕ( x))	+	∂u(x,ϕ(x))	ϕ′( x) ≡ 0, x Iδ.
	∂x
			∂Y
Но ϕ′(x) ≡ F (x,ϕ(x)), x Iδ		(так как Y = ϕ( x ) , x Iδ, – решение системы (1)).

Поэтому будем иметь
	∂u(x,ϕ( x))	+	∂u(x,ϕ(x))	F (x,ϕ( x))≡ 0, x Iδ .
	∂x		∂Y

Положим в последнем равенстве x = x0 (тогда ϕ( x0 ) =Y0 ). Получим

		∂u( x0,Y0 ) + ∂u( x0,Y0 ) F ( x				0	,Y ) = 0 .
		∂x		∂Y		0	0
		∂x		∂Y
У нас	точка	(x0 ,Y0 )	–	любая,	принадлежащая (D).
∂u( x,Y ) +	∂u(x,Y )	F(x,Y ) ≡ 0		в (D). Необходимость доказана.
∂x	∂Y
Достаточность. Имеет место тождество
		∂u( x,Y )	+ ∂u(x,Y ) F		(x,Y ) ≡ 0 в (D).
		∂x		∂Y
Требуется доказать, что u( x,Y )				– интеграл системы (1) в (D).

Берем произвольное решение системы (1) в (D)

Поэтому

(9)

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20143.89 Mб71Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20142.62 Mб68Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014136.7 Кб84Шпаргалка по диффурам.doc