Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

будет неограниченной на промежутке [t0

, +∞) . Значит, будет не-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

2.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

тиворечие. Значит, предположение, что Φ0 (t) – неограниченная на промежутке [t0 , +∞) , неверно.

Достаточность.Дано: Φ0 (t) =(ϕ1(t), ϕ2 (t), K, ϕn (t)) – ограниченная на

промежутке [t0 , +∞) . Требуется доказать, что решение X ≡ 0 , t [t0 , +∞), сис-

темы ( 2 ) устойчиво.

По условию, Φ0 (t)

– ограниченная на [t0 , +∞) . Существует число

M > 0 такое, что

Φ0 (t)

≤ M , t [t0 , +∞) . Возьмем любое ε > 0

и произволь-

ный вектор ξ Rn . Отметим, что X = Φ0 (t) ξ – решение системы ( 2 ), удовле-

творяющее начальному условию X

t=t0

= ξ ( Φ0 (t) ξ = ϕ(t, t0 , ξ) ,

t [t0 , +∞) ).

Имеем

ϕ(t, t0 , ξ) −0 = ϕ(t, t0 , ξ) = Φ0 (t) ξ ≤ n Φ0 (t)ξ ≤ n M ξ , t [t0 , +∞) .

Отсюда видим,

что

ϕ(t, t0 , ξ) −0

< ε, если

ξ −0

. Таким образом,

получаем:

любому

ε > 0

отвечает

δ > 0

( δ =

) такое,

что для любого ξ,

ξ −0

ϕ(t, t0 , ξ) −0

удовлетворяющего условию

< δ, оказывается

< ε для лю-

бого t [t0 , +∞)

. Последнее означает, что решение X ≡ 0 ,

t [t0 , +∞) , системы

( 2 ) устойчиво.

Докажем теперь утверждение 2).

Необходимость.Дано: решение X ≡ 0 ,

t [t0 , +∞) , системы ( 2 ) асимптоти-

чески устойчиво. Требуется доказать, что

Φ0 (t)

→0 .

t→+∞

По условию, решение

X ≡ 0 , t [t0 , +∞) ,

системы ( 2 ) асимптотически

устойчиво. Это означает, что решение X ≡ 0 ,

t [t0 , +∞) ,

устойчиво и что су-

ществует

δ′ > 0 такое,

что

для

любого

ξ,

удовлетворяющего

условию

ξ −0

< δ′,

оказывается

ϕ(t, t0 , ξ) −0

ϕ(t, t0

, ξ)

→0 . Мы докажем,

t→+∞

что

Φ0 (t)

→0 , если покажем, что для любого

j =

1, n

ϕ j (t)

→0 . (У нас

t→+∞

Φ0 (t) =(ϕ1(t), ϕ2 (t), K, ϕn (t))).

Возьмем любое решение

X =ϕ j (t) ,

j =

входящее в матрицу Φ0 (t) .

1, n

Возьмем

∆ > 0

–

любое,

но такое, что

∆ <δ′,

и рассмотрим

решение

ϕ(t) = ϕ j (t) ∆,

t [t0 , +∞).

Имеем ξ = ϕ(t0 ) = ϕ j (t0 ) ∆ = e j ∆, где e j – мат-

рица-столбец, у которой все элементы, кроме одного (равного единице), равны нулю. Поэтому ϕ(t0 ) = ∆ <δ′, т.е. ξ <δ′. А тогда, в силу асимптотической

устойчивости решения X = 0 , t [t0 , +∞) , будем иметь

111

ϕ(t)

ϕ(t, t0

, ξ)

ϕ(t, t0

, ξ) −0

→0 ,

т. е.

t→+∞

ϕ j (t) ∆

→0

ϕ j (t)

∆ →0

t→+∞

ϕ j (t)

j =

(t)

→0

при любом

1, n

Φ0

→0 .

Достаточность.

t→+∞

Φ0 (t)

t→+∞

Дано:

→0 . Требуется

доказать, что

решение

t→+∞

X ≡ 0 ,

t [t0 , +∞) , системы ( 2 ) асимптотически устойчиво.

По условию,

Φ0 (t)

→0 . Тогда

Φ0 (t)

– ограниченна на промежутке

t→+∞

X ≡ 0 ,

[t0 , +∞) , следовательно,

по

утверждению

теоремы,

решение

t [t0 , +∞) , системы ( 2 ) устойчиво.

ξ Rn

Возьмем

произвольный

вектор

рассмотрим

решение

Φ0 (t) ξ = ϕ(t, t0 , ξ) системы ( 2 ). Имеем:

ϕ(t, t0 , ξ) −0

ϕ(t, t0 , ξ)

Φ0 (t) ξ

≤ n

Φ0 (t)

По условию

Φ0 (t)

→0 . А тогда из предыдущего неравенства следует, что

t→+∞

X ≡ 0 ,

ϕ(t, t0

, ξ) −0

→0 .

Таким

образом,

получили,

что

решение

t→+∞

ξ Rn оказывается

t [t0 , +∞) , системы

что

для

любого

( 2 ) устойчиво и

ϕ(t, t0

, ξ) −0

→0 . Это означает, что решение

X ≡ 0 ,

t [t0 , +∞) ,

системы

t→+∞

( 2 ) асимптотически устойчиво.

112

§3. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами

Пусть имеется линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dY	= A Y + F(t) ,	(1)
dt

где A – постоянная матрица, а вектор-функция F(t) предполагается непрерывной на промежутке (τ, +∞) . В §2 было показано, что исследование на устойчивость произвольного решения Y = ϕ0 (t, t0 , ξ0 ) , t [t0 , +∞) системы (1) сводится

к исследованию на устойчивость решения Y ≡ 0 соответствующей однородной системы

dY	= A Y .	(2)
dt

Ответ же на вопросы об устойчивости, асимптотической устойчивости решения Y ≡ 0 системы (2) дает следующая теорема.

Теорема. Пусть имеется линейная однородная система с постоянными коэффициентами (2). Пусть λ j ( j =1, m) – собственные числа матрицы A. Тогда:

I. Решение Y ≡ 0 ,	t [t0 , +∞), системы (2) устойчиво лишь тогда, когда
Re λ j ≤ 0 для любого	j =		; при этом каждому λ j , у которого Re λ j = 0 , в
		1, m
канонической форме J матрицы A должны соответствовать клетки Жордана
лишь первого порядка.
II. Решение Y ≡ 0 ,	t [t0 , +∞), системы (2) асимптотически устойчиво лишь
тогда, когда Re λ j < 0 для любого j =					.
				1, m
Мы знаем, что любое решение системы (2) определено на интервале

(−∞; +∞) . Поэтому всегда в качестве t0 можно взять t0 = 0 .

Возьмем фундаментальную матрицу решений системы (2), нормированную в точке t0 = 0 . Такой матрицей является матрица eAt . Найдем условия, при ко-

торых матрица eAt является ограниченной, и условия, при которых		eAt	→0 .
Пусть J = diag [J1 , J2 , K, Jm ]			t→+∞
		A.	t→+∞
	– каноническая форма матрицы	A.	Пусть
A = SJS −1 ( det S ≠ 0 ). Тогда
eAt = S eJt S −1 .			(3)
Из (3) следует, что матрицы eAt	и eJt одновременно либо ограниченные, либо

неограниченные, и их нормы одновременно либо стремятся к нулю, либо не стремятся к нулю при t → +∞. Поэтому можно исследовать лишь матрицу eJt .

Мы знаем, что eJt = diag[eJ1t , eJ2t , K, eJmt ], где

113

				eλj t
				teλj t
eJ jt				teλj t
eJ jt	= . . . .
		t	n	j	−1 λ		j	t
		t		j		e	j

		(n j				−1)!

0 eλj t

. . . .

tn j −2eλj t

(n j −2)!

0	K	0
0	K	0
. . . . . . . .
tn j −3eλj t	K	te	λ	j	t
(n j −3)!	K	te		j
(n j −3)!

0
0
0
. .	.	, j =		.
. .	.	, j =	1, m	.

eλj t

1) Пусть λ j ( j =1, m) такие, что Re λ j < 0 . Но тогда при любом k = 0, n j −1

будет

λj t

→0 . Следовательно,

eJ j t

→0 , а значит, и

eJt

→0 .

k !

t→+∞

2) Пусть среди собственных чисел λ1 ,

λ2 , … , λm матрицы A имеется хотя

бы одно λ j

такое, что Re λ j

= 0 . Это означает, что либо λ j = 0 , либо λ j = iβ

(β ≠ 0 ). В обоих этих случаях

eλ jt

=1 для любого t и, следовательно, величина

λj t

не стремится к нулю при t → +∞, причем эта величина будет ограни-

k !

eJ j t

ченной лишь тогда, когда k = 0 . Значит,

в обоих этих случаях

не стре-

мится к нулю при t → +∞, причем eJ j t будет ограниченной лишь тогда, когда

J j (в канонической форме J матрицы A) является клеткой Жордана лишь пер-

вого порядка.

3) Пусть, наконец, среди собственных чисел λ1 , λ2 , … , λm матрицы A имеется хотя бы одно λ j такое, что Re λ j > 0 . Но тогда при любом k = 0, n j −1 ве-

ограниченной на промежутке [t0 , +∞) и eJ j t .

Из анализа случаев, когда eJ j t – ограниченная, неограниченная и когда

eJ j t →0 следуют утверждения I и II теоремы.

t→+∞

§ 4. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами

Пусть имеется линейная однородная система с периодическими коэффициентами

dY	= A(t) Y ,	(1)
dt

где A(t) C(R) и такая, что A(t +ω) = A(t) , t (−∞, +∞) . Ранее было показа-

114

но, что система (1) преобразованием

		Y = p(t) Z ,			(2)
где p(t) – не особая, ω-периодическая матрица, переводится в систему
			dZ	= R Z .	(3)
				= R Z .	(3)
	1		dt
В системе (3) R =	1	ln C – постоянная матрица; C – матрица монодромии сис-
В системе (3) R =		ln C – постоянная матрица; C – матрица монодромии сис-
	ω

темы (1).

Так как (3) – линейная однородная система с постоянными коэффициентами, то к ней применима теорема, доказанная в §3.

Пусть µ j – собственные числа матрицы C (мультипликаторы системы (1)); λ j – собственные числа матрицы R (характеристические показатели системы

(1)). Так как λ j =	1	ln µ j =	1	[ln\|µ j \| +i arg µ j ], то Re λ j =			1	ln\|µ j \|, и поэтому
(1)). Так как λ j =		ln µ j =	ω	[ln\|µ j \| +i arg µ j ], то Re λ j =				ln\|µ j \|, и поэтому
	ω		ω				ω
					< 0,	если \|µ j \| <1,
					< 0,	если \|µ j \| <1,
			Re λ j		= 0, если \|µ j \| =1,
					> 0,	если \|µ j \| >1.
					> 0,	если \|µ j \| >1.

Отсюда, принимая во внимание теорему, доказанную в §3, приходим к заключению, что справедливы утверждения:

I. Решение Y ≡ 0 , t [t0 , +∞) , системы (1) устойчиво лишь тогда, когда |µ j | ≤1 для любого j =1, m; при этом каждому µ j , у которого |µ j | =1 в канони-

ческой форме матрицы монодромии C должны соответствовать клетки Жордана лишь первого порядка.

II. Решение Y ≡ 0 , t [t0 , +∞) , системы (1) асимптотически устойчиво лишь тогда, когда |µ j | <1 для любого j =1, m.

§ 5. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению

Пусть имеется нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений

		dY	= F(t,Y ) .	(1)
		dt	= F(t,Y ) .	(1)
		dt
Пусть F(t,Y ) C(G) и	∂F(t,Y ) C(G) , где			(G) = (τ, +∞) ×( D) , (D) Rn ,
	∂Y

τ≥ −∞.

В§1 было показано, что вопрос об устойчивости произвольного движения

Y = ϕ0 (t, t0 , ξ0 ) , t [t0 , +∞) , системы (1) заменой Y = ϕ0 (t, t0 , ξ0 ) + X сводится к вопросу об устойчивости движения X ≡ 0 , t [t0 , +∞) , системы

115

			dX	~
	~		dt	= F(t, X ) ,	(2)
где	~	(t	, t0 , ξ0 ) + X )− F(t, ϕ0 (t, t0		, ξ0 )) и, следовательно,
где	F(t, X ) = F(t, ϕ0	(t	, t0 , ξ0 ) + X )− F(t, ϕ0 (t, t0		, ξ0 )) и, следовательно,
~
F(t, 0) ≡ 0, t [t0 , +∞).
	Одним из основных		методов	исследования	на устойчивость движения

X ≡ 0 , t [t0 , +∞) , нелинейной системы (2) является метод исследования на ус-

тойчивость по первому приближению. Этот метод заключается в том, что в окрестности точки X ≡ 0 систему (2) представляют в виде

= A(t) X + f (t, X ) ,

(3)

ϕ0 (t, t0 , ξ0 ))

∂F(t,

где A(t) =

– матрица-функция размера n × n , f (t, X ) C(G) ,

∂X

∂f (t, X )

f (t, 0) ≡ 0

∂X

C(G) ,

в области (G) = (τ, +∞) ×

(D) ,

(D) Rn ;

f (t, X )

→ 0 .

→0

f (t, X ) , имеющий порядок выше первого относи-

Если в (3) отбросить член

тельно

при

→ 0 , то получим линейную систему

= A(t) X , назы-

ваемую системой первого приближения для системы (3), а, следовательно, и системы (2). Если матрица A(t) оказывается постоянной, то система (3) назы-

вается стационарной в первом приближении.

Для стационарной в первом приближении системы (3) следующая теорема указывает условия применимости метода исследования по первому приближению.

Теорема. Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

			dX	X + f (t, X ) ,		~
			dt = A	X + f (t, X ) ,		( 3)
где A – постоянная матрица размера				n × n ,	f (t, X ) – вектор-функция, такая,
что:	~			~
1)	~			~	локально и	f (t, 0) ≡ 0 в области
1)	f (t, X ) C(G) , f (t, X ) Lip X (G) –				локально и	f (t, 0) ≡ 0 в области
~	{t (τ, +∞),	X	< a};
(G) =	{t (τ, +∞),	X	< a};
2)	для любого числа α > 0 существуют число T ( T > τ) и число h ( 0 < h < a )

такие, что

f (t, X )

< α

, для t ≥ T

≤ h .

Тогда, если все собственные числа λ j

матрицы A имеют отрицательные веще-

ственные части: Re λ j < 0 , то решение X ≡ 0	~
	, t [t0 , +∞) системы ( 3) асимпто-

116

тически устойчиво.

j =

По условию, Re λ j < 0 для любого

. Но тогда существует число

1, m

λ > 0 такое, что Re λ j < −λ , для любого

j =

. Рассмотрим матрицу eAt . Су-

1, m

ществует число k ( k ≥1) такое, что

eAt

≤ k e−λt , t ≥ 0 .

Возьмем число α > 0 любое, но такое, чтобы было

n k α < λ.

(4)

По условию 2) теоремы, взятому числу

α > 0 отвечают числа T и h (T > τ,

0 < h < a ) такие, что в (

′) = {t ≥ T,

≤ h } будет

f (t, X )

< α

Покажем сначала, что решение

X ≡ 0 системы ( 3) будет устойчивым. Для

этого берем произвольное число t0 ( t0 > T ) и берем ε > 0 любое, но такое, что-

бы было 0 < ε < h . Затем берем ξ произвольное, но такое, что

< h .

Рассмотрим решение X = ϕ

= ξ .

(t, t0 , ξ) системы ( 3). Имеем

ϕ(t, t0 , ξ)

t=t0

Следовательно,

ϕ(t, t0 , ξ)

t=t0

< h . Но тогда существует промежуток

[t0 , β) такой, что

ϕ(t, t0 , ξ)

< h

для любого t из промежутка [t0 , β) . Убедимся,

что взятому числу ε > 0 можно сопоставить число δ > 0 такое, что для любого ξ, удовлетворяющего условию ξ <δ, будет ϕ(t, t0 , ξ) < ε, t [t0 , β) . Для это-

го наряду с системой ( 3) рассматриваем вспомогательную линейную систему

= A X + f (t, ϕ(t, t0 , ξ)),

( 3)

где f (t, ϕ(t, t0 , ξ))= q (t) – вектор-функция, зависящая только от t. Нетрудно

понять,

что q (t) C([t0 ,β)) и

что

определена

в области

система ( 3)

(G1 ) = {t0 ≤ t <β,

< +∞}. В области (G1 ) построим общее решение системы

( 3). Оно, как мы знаем, будет таким:

e−A( s−t0 ) f (s, ϕ(s, t0

∫

X = eA(t−t0 ) C +

, ξ))ds .

Выделим из него решение, удовлетворяющее начальному условию

t=t0

= ξ.

Получим

e−A( s−t0 ) f (s, ϕ(s, t0

∫

(5)

X = eA(t−t0 ) ξ +

, ξ))ds .

Заметим,

что решение X = ϕ(t, t0 , ξ)

системы ( 3) также является решением

= ξ. Следователь-

системы ( 3), удовлетворяющим начальному условию

t=t0

117

но, решение X = ϕ(t, t0 , ξ) совпадает с решением (5), т.е.

e−A( s−t0 ) f (s, ϕ(s, t0

∫

(6)

ϕ(t, t0 , ξ) = eA(t−t0 ) ξ +

, ξ))ds .

Произведем оценку решения X = ϕ(t, t0 , ξ) . Из (6) имеем:

ϕ(t, t0 , ξ)

eA(t−t0 ) ξ

eA(t−t0 ) ∫e−A( s−t0 ) f (s, ϕ(s, t0 , ξ))ds

≤

≤ n eA(t −t0 ) ξ + ∫eA(t −s) f (s,ϕ(s, t0 , ξ))ds ≤

≤ n eA(t −t0 ) ξ + ∫n eA(t −s) f (s,ϕ(s, t0 , ξ)) ds .

У нас

eA(t −t0 )

≤ ke−λ(t −t0 ) ;

eA(t −s)

≤ ke−λ(t −s) , при t ≥ t0 > T , и t0 ≤ s ≤ t ;

f (s, ϕ(s, t0 , ξ))

≤ α

ϕ(s, t0 , ξ)

ибо s > T и

ϕ(s, t0 , ξ)

< h

для s [t0 , β) . По-

этому

ϕ(t, t0 , ξ)

≤ nk

e−λ(t −t0 ) + ∫nke−λ(t −s) α

ϕ(s, t0 , ξ)

ds .

Умножив обе части последнего равенства на eλ(t −t0 ) , получим

eλ(t −t0 )

ϕ(t, t0 , ξ)

≤ nk

+ nkα ∫eλ( s−t0 )

ϕ(s, t0 , ξ)

ds.

Заметим,

что

= const > 0 ;

µ = nkα = const > 0 ;

λ = nk

eλ(t −t0 )

ϕ(t, t0 , ξ)

= u(t)

– положительная непрерывная функция. Видим, что

функция u(t) на промежутке [t0 , β)

удовлетворяет условиям леммы Гронуола.

µ(t −t

)

, t [t0 , β) , или

Поэтому будем иметь u(t) ≤ λe

ϕ(t, t0 , ξ)

eλ(t −t0 ) ≤ nk

enkα(t −t0 ) ;

отсюда

ϕ(t, t0 , ξ)

≤ nk

e( nkα−λ)(t −t0 ) ,

t [t0 , β) . Так как t −t0 ≥ 0 , t [t0 , β) ;

nkα −λ < 0

(см. (4)),

то

e( nkα−λ)(t −t0 ) ≤1

и, следовательно,

ϕ(t, t0 , ξ)

≤ nk

Но тогда

ϕ(t, t0 , ξ)

< ε,

t [t0 , β) ,

если брать ξ удовлетворяющим условию

< δ, где δ =

что любому ε > 0

можно поставить в соответствие

Итак, мы убедились,

118

число δ > 0 ( δ =

) такое, для любого ξ, удовлетворяющего условию

<δ,

будет

ϕ(t, t0 , ξ)

< ε, если t [t0 , β) .

). Пусть [t0 , β) – максималь-

Пусть ξ – любой, но такой, что

<δ ( δ =

ный промежуток, на котором решение X = ϕ(t, t0 , ξ) системы ( 3) удовлетворя-

ет неравенству ϕ(t, t0 , ξ) < h . Покажем, что β = +∞.

Рассуждаем от противного, а именно, предполагаем, что β <+∞. Но тогда

решение

X = ϕ(t, t0 , ξ) ,

t [t0 , β) , обладает свойством:

точки (t, ϕ(t, t0 , ξ)),

t [t0 , β) ,

оказываются

принадлежащими

ограниченной

замкнутой

области

(G * ) ,

содержащейся

области

Значит,

решение

(G)

((G * ) (G) .

X = ϕ(t, t0 , ξ) ,

t [t0 , β) , продолжимо

вправо, а, следовательно,

существует

lim ϕ(t, t0 , ξ)

= ξ1, причем точка (β, ξ1 ) (G * ) (G).

t→β−0

обозн.

Рассмотрим

вектор

ϕ(β, t0 , ξ) = ξ1 . Из

предположения, что

промежуток

[t0 , β)

– максимальный вправо, на котором решение X = ϕ(t, t0 , ξ) удовлетво-

ряет неравенству

ϕ(t, t0 , ξ)

< h , следует, что

ξ1

= h

(*)

(иначе промежуток [t0 , β) не был бы максимальным вправо в указанном выше смысле). Но, с другой стороны, из неравенства

ϕ(t, t0 , ξ)

< ε

(7)

при t →β−0 находим

ϕ(β, t0 , ξ)

ξ1

≤ ε < h .

(**)

Сопоставляя соотношения (*) и (**), видим, что пришли к противоречию. Значит, наше предположение, что β <+∞, неверно, и, следовательно, β =+∞.

Таким образом,

ϕ(t, t0 , ξ)

< ε для t [t0 , +∞), если

только

<δ,

где

. Последнее означает, что решение X ≡ 0 , t [t0

δ =

, +∞), системы ( 3)

ус-

тойчиво.

Покажем теперь,

что решение системы X ≡ 0 , t [t0 , +∞),

системы ( 3)

асимптотически устойчиво.

Для любого ξ, удовлетворяющего условию

< h ,

и для всех t [t0 , +∞)

была получена следующая оценка решения X = ϕ(t, t0 , ξ) ,

t [t0 , β) , системы

( 3):

e( nkα−λ)(t−t0 ) .

ϕ(t, t0 , ξ)

≤ nk

(8)

119

Так как δ = nkε < ε, а ε < h , и так как β =+∞, то оценка (8) будет верна для лю-

бого ξ, удовлетворяющего условию

<δ, и для всех t [t0 , +∞). Принимая во

внимание, что

(nkα −λ)(t −t0 ) < 0 для

t [t0 , +∞), получаем из

(8):

ϕ(t, t0 , ξ)

→0 .

Следовательно,

решение

X ≡ 0 , t [t0 , +∞), системы

( 3)

t→+∞

асимптотически устойчиво. Замечание.Доказанная теорема дает весьма удобный признак асимптотиче-

ской устойчивости решений широкого класса систем дифференциальных уравнений и очень часто применяется в практических задачах.

Изложенное в настоящей главе следует рассматривать лишь как скромное введение в изучение начал теории устойчивости движения, созданной великим русским ученым Александром Михайловичем Ляпуновым и изложенной им в сочинении "Общая теория устойчивости движения". Особенная значимость этой теории состоит в том, что мы, часто не умея интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений, тем не менее можем делать заключения об устойчивости или неустойчивости движения, определяемого этой системой.

Литература

1.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

2.Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – Л.: Изд. Ленинградского университета, 1981.

3.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.:

Наука, 1967.

4.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. Ленинградского университета, 1955.

5.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980.

6.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.:

Наука, 1973.

7.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

– М.: Наука, 1969.

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20143.89 Mб71Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20142.62 Mб68Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014136.7 Кб84Шпаргалка по диффурам.doc