Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Отметим следующее свойство нормы произведения матриц.

Пусть

A = {ail} ( i =

;

l =

),

B = {bl j }

( l =

; j =

). Тогда

1, n

1, k

1, k

1, m

A B

≤ k

A

B

.

В самом деле, имеем

def

k

k

k

A B

= max

∑ail bl j

∑

ail

bl j

≤ ∑

A

B

= k

A

B

≤

max

.

i=1, n

l =1

i=

1, n

l =1

l =1

j =1, m

j =1, m

dA( x)

dai j ( x)

( i =1, n ; j =1, k ).

=

dx

dx

dA( x)

dai j ( x)

существует, если существуют одновременно

( i =1, n ; j =1, k ).

dx

dx

Справедливы следующие утверждения.

Пусть матрицы-функции A(x) и B(x) одинакового строения, определенные

и дифференцируемые на I. Тогда

d

(A( x) + B(x))= dA(x)

+ dB( x) , x I .

dx

dx

dx

гда

d

(α A( x))= α dA( x)

,

x I .

dx

dx

Пусть A(x) = {ail (x)} ( i =

; l =

) определена и дифференцируема на I,

1, n

1, k

B( x) = {bl j ( x)}( l =

;

j =

) определена и дифференцируема на I. Тогда

1, k

1, m

d

k

k

(A( x) B( x))=

d

∑

ail ( x) bl j ( x)

=

(ail′

( x) bl j ( x) +ail ( x) bl′j ( x)) =

dx

dx

∑

l =1

l =1

= dA( x)

B(x) + A(x) dB(x) ,

x I .

Замечание.

dx

dx

Пусть

A(x)

– квадратная матрица-функция, определенная и

d

x

∫A(t) dt = A(x),

x [a, b].

dx

a

Рассмотрим вопрос о норме интеграла. Имеем

b

b

b

b

∫

A( x) dx

= max

∫

ai j (x) dx

≤ max

∫

ai j (x)

dx

≤

∫

A( x)

dx

.

i=1, n

i=1, n

123

a

j =

a

j =

a

a

1, k

1, k

≤

A( x )

dy1 = a

( x) y

+a

(x)

y

2

+K+a

( x) y

n

+

f ( x),

dx

11

1

12

1n

1

dy

2

~

=

a21(x)

y1

+

a22

(x)

y2

+K+

a2n (x)

yn

+

f2 (x),

dx

(1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dy

n

= an1(x) y1

+an2 (x) y2

+K+ann (x) yn + fn (x)

dx

называется линейной.

Считаем, что ai j ( x)

( i, j =

) и fi ( x) ( i =

) – некоторые вещественные

1, n

1, n

y (x)

f (x)

a (x) a (x) K a

(x)

1

1

11

12

1n

Y (x) = y2 ( x)

;

F(x) = f2 ( x)

;

A(x) = a21(x) a22 (x) K a2n (x) .

K

K

K

K K K

yn ( x)

fn (x)

an1( x) an2 ( x) K ann (x)

~

Тогда система (1 ) может быть записана в виде

dY

= A(x) Y + F( x).

(1)

dx

что F (x,Y ) C( D) , где

Обозначим A(x) Y + F(x) =F (x,Y ) .

Ясно,

a < x < b,

(D) =

Y

< +∞.

Имеем

∂F (x,Y )

∂F (x,Y ) C( D) .

= A(x)

∂Y

∂Y

Значит, (D) – область существования и единственности решений системы (1).

Положим p(x) = max

ai j

( x)

, q( x) = max

fi ( x)

. Имеем

i, j =1, n

i=1, n

F ( x,Y )

=

A(x) Y + F(x)

≤

A(x) Y

+

F(x)

≤

≤ p(x) n

Y

~

Y

+q(x) ,

~

+q(x) = p (x)

= p( x) n .

где p ( x)

темы (10 ) , то

dϕ1( x)

− A( x) ϕ1( x) ≡ 0,

x I ,

dx

dϕ2 ( x)

− A(x) ϕ2 (x) ≡ 0,

x I .

Имеем

dx

d

(ϕ1(x) +ϕ2 (x))− A( x) (ϕ1(x) +ϕ2 (x))=

dx

= dϕ1( x)

+

dϕ2 (x)

− A( x) ϕ1( x) − A( x) ϕ2 (x) =

dϕ

( x)

dx

dx

dϕ

( x)

=

1

− A(x)

ϕ

(x)

+

2

− A( x) ϕ

(x)

≡ 0, x I

dx

dx

1

2

14444244443

14444244443

≡0, x I

≡0, x I

Действительно, по условию Y = ϕ( x) ,

x I , – решение системы (10 )

dϕ( x)

− A( x) ϕ(x) ≡ 0 , x I . Имеем

dx

d

(C ϕ( x))− A( x) (C ϕ(x))= C dϕ( x)

−C A(x) ϕ(x) =

dx

dϕ(x)

dx

= C

− A(x) ϕ(x)

≡ 0,

x I

dx

1444244443

Y = C1 ϕ1( x) + C2 ϕ2 ( x) +K+ Cn ϕn ( x), x I ,

(2)

ϕ1( x), ϕ2 ( x), K, ϕn ( x)

(n N)

(1)

– вектор-функции, определенные на некотором I = (a, b).

Определение. Если существуют числа γ1,

γ2 , K, γn , среди которых есть

отличные от нуля, такие, что

γ1 ϕ1( x) + γ2 ϕ2 ( x) +K+ γn ϕn ( x) ≡ 0, x I ,

(2)

то вектор-функции (1) называются линейно зависимыми на I = (a, b).

темы

dY

= A( x) Y .

(1 )

dx

0

Образуем матрицу

Φ( x) = (ϕ1(x), ϕ2 (x), K, ϕn ( x)).

(3)

мы (10 ) ). Если решения ϕ1( x), ϕ2 ( x), K,

ϕn ( x) , x I , системы (10 ) линейно

зависимы на I = (a, b), то их вронскиан

x I .

W ( x) ≡ 0,

C1

C

≠ 0 такой, что

существует (постоянный) вектор C = 2

K

Cn

Φ( x) C ≡ 0,

x I .

(4)

темы

(10 ) ). Если существует точка x0 I такая, что W( x0 ) ≠ 0 , то решения

ϕ1( x),

ϕ2 ( x), K, ϕn ( x) , x I , системы (10 ) линейно независимы на I.

мы (10 ) ). Пусть вектор-функции ϕ1( x),

ϕ2 ( x), K, ϕn ( x) , x I

– решения сис-

темы (10 ) . Пусть W( x) – их вронскиан.

Если существует точка x0 I такая, что

W( x0 ) = 0 , то решения (1) системы (10 )

– линейно зависимые на I = (a, b).

Введем в рассмотрение линейную алгебраическую систему

Φ( x0 ) C = 0,

(5)

Y = C(0) ϕ

( x) +C(0) ϕ

2

( x) +K+C(0) ϕ

n

( x) = Φ( x) C(0) .

(6)

1

1

2

n

Это решение, в силу (5), удовлетворяет начальному условию

Y

x =x0

= 0

(7)

(ибо, в силу (5),

Φ( x0 ) C(0) = 0 ). Но начальному условию (7) удовлетворяет

также решение Y ≡ 0 ,

x I системы (10 ) . Мы знаем, что для линейной системы

Φ( x) C(0) = 0,

x I .

Так как C(0) ≠ 0 , то

последнее соотношение означает, что решения

ϕ1( x), ϕ2 ( x), K, ϕn ( x) ,

x I , системы (10 )

– линейно зависимые на I = (a, b).

В самом деле, допустим, что имеется хотя бы одна точка x0 I

такая, что

W( x0 ) = 0 . Но

тогда по

теореме

2

получаем,

что

решения

ϕ1

( x), ϕ2 ( x), K, ϕn ( x) , x I , – линейно зависимые на I, а это не так.

Определение. Пусть ϕ1( x), ϕ2 ( x), K,

ϕn ( x) ,

x I = (a, b)

– решения сис-

темы (10 ) , Φ( x)

– матрица, составленная из этих решений.

Если решения

ϕ1

( x), ϕ2 ( x), K,

ϕn ( x) , x I ,

– линейно независимые на I, то матрицу Φ( x)

Теорема. Пусть Φ( x) = (ϕ1(x), ϕ2 (x), K, ϕn ( x)) – ф. м. р. с.

dY

= A( x) Y .

(1 )

dx

0

Тогда

Y = Φ( x) C ,

(1)

где C – произвольный постоянный вектор, есть общее решение системы (10 ) в

(D) =

a < x < b,

Y

< +∞.

1) Берем произвольную точку (x0 ,Y0 ) (D) и рассматриваем векторное

уравнение

Y0 = Φ( x0 ) C .

(2)

C(0) = Φ−1( x

0

) Y .

0

2) Подставив в (1) C(0) вместо C, будем иметь

Y = Φ(x) C(0) = C(0) ϕ

(x) +C(0)

ϕ

2

( x) +K+C(0) ϕ

n

( x).

(3)

1

1

2

n

Вектор-функция (3) представляет

собой

линейную

комбинацию

решений

ϕ1( x), ϕ2 ( x), K, ϕn ( x) , x I , системы (10 )

(3) – решение системы (10 ) на

Y = Φ(x) Φ

−1

( x0 ) Y0 .

~

( 3)

~

в форме Коши.

В частности, если

( 3) – общее решение системы (10 )

~

Φ( x0 ) = E , то ( 3) принимает вид

Y = Φ( x) Y0 .

(10 ) ).

1) Пусть Φ( x) = (ϕ1(x), ϕ2 (x), K, ϕn ( x))

– ф. м. р. с. (10 ) . Пусть C – посто-

янная, произвольная, неособенная матрица порядка n. Тогда

(4)

Ψ( x) = Φ( x) C

– тоже ф. м. р. с. (10 ) .

В самом деле, имеем

Ψ(x) = Φ(x) C = Φ(x) (C1, C2 , K, Cn )=(Φ(x) C1, Φ(x) C2

, K, Φ(x) Cn ).

14243 14243

14243

=Ψ1 ( x ) =Ψ2 ( x )

=Ψn ( x )

Так как Ψ1( x) = Φ( x) C1 , Ψ2 ( x) = Φ( x) C2 ,

K ,

Ψn ( x) = Φ( x) Cn являются ре-

шениями системы (10 ) на I = (a, b), то Ψ( x) = (ψ1(x), ψ2 ( x), K, ψn ( x)) – мат-

рица решений системы (10 ) .

Имеем, далее,

det Ψ( x) = det Φ( x) det C ≠ 0,

x I

14243

{

≠0, x I

≠0

с., (10 ) Y = ψ j (x)

( j =

) – решение системы (10 ) . По теореме об общем

1, n

решении системы (10 )

заключаем: существует постоянный вектор C j ( j =

)

1, n

dY

= A( x) Y .

(1 )

dx

0

Пусть Φ( x) = (ϕ1(x), ϕ2 (x), K, ϕn ( x)) – матрица решений системы (10 )

(не обя-

зательно фундаментальная). Пусть W( x) = det Φ( x) – вронскиан. Тогда

x

n

для любого x (a, b)

W(x) =W( x0 ) exp

∫

∑aii(t) dt ,

x0

i=1

( x0 (a, b) фиксированное, любое.)

Имеем

ϕ11( x ) ϕ12 (x ) K ϕ1n ( x )

W ( x ) =

ϕ21( x ) ϕ22 (x ) K ϕ2n (x )

K

K

K

K

ϕn1( x ) ϕn2 (x ) K ϕnn (x )

123

123

123

=ϕ1( x ) =ϕ2 ( x )

=ϕn( x )

ϕ′ ( x)

ϕ′ ( x) K ϕ′

( x)

ϕ