Тема: Связь в транспортной задаче между методом потенциалов и симплекс-методом

Потенциалы U_i и V_j представляют собой двойственные переменные. Сформулируем двойственную задачу из условий исходной транспортной задачи для m=2 и n=3:

								Объем
	x11	c11	x12	c12	x13		c13	a1
	x21	c21	x22	c22	x23		c23	a2
спрос	b1		b2		b3

_{n m}

min Z = Σ Σ C_ij x_ij

j=1 i=1

{	n____ . .__ Σ хij = ai ; i=1,2 j=1 m .___.____ Σ хij = bj ; j=1,3 i=1

x_ij ≥ 0

Пусть для ограничений, соответствующих исходным пунктам, двойственные переменные обозначим U₁ и U₂ , а для пунктов назначения - через V₁ , V₂ и V₃ . Тогда двойственная задача запишется в следующем виде:

_{m n}

max w = Σ a_i U_i + Σ b_j V_j

^{i=1 j=1}

U_i + V_j ≤ C_ij для всех i и j , U_i , V_j не имеют ограничений в знаке

Чтобы определить коэффициенты при небазисной переменной x_ij в Z уравнении, необходимо найти разность между левыми и правыми частями в соответствующих уравнениях двойственной задачи.

U_j + V_j - C_ij = Ĉ_ij

На заключительной итерации потенциалы непосредственно дают оптимальные значения двойственных переменных.

Потенциалы на заключительной итерации:

U₁ = 0 ; U₂ = 3 ; U₃ = 2 ;

V₁ = 1 ; V₂ = - 2 ; V₃ = 2 ;

w = (90*0 + 400*3 + 110*2) + (110*1 + 300*(-2) + 160*2) = 1280 денежных единиц

Задача: требуется распределить n работ по m станкам. Работа i, выполняемая на станке j связана с затратами С_ij. Задача состоит в таком распределении по станкам которое соответствует минимуму суммарных затрат.

i	Станки
		1	2	…	n
Виды работ	1	С11	С12	…	С1n	1
	2	С21	С22	…	С2n	1
	…	…				…
	m	Сm1	Сm2	…	Сmn	1
		1	1	…	1

Если какую-либо работу нельзя выполнить, то стоимость С_ij берется равной очень большому числу М или 0. Если количество работ m не равно количеству станков n, то модель нужно сбалансировать

X ij = {	0, если работа i не выполняется на станке j
	1, если работа i выполняется на станке j

_{n m}

Z = Σ Σ C_ij x_ij

j=1 i=1

{	m____ Σ хij = 1 i=1 n Σ хij = 1 j=1

x_ij ≥ 0

Оптимальное решение задачи не изменится, если к любой строке или столбцу матрицы стоимостей прибавить или вычесть постоянную величину. Если можно построить новую C_ij матрицу с нулевыми элементами, то эти нулевые элементы или их подмножества будут соответствовать оптимальному решению. Нулевые элементы получаются вычитанием наименьшего элемента в каждой строке и в каждом столбце матрицы.

Пример:

		1	2	3
Cij =	1	5	7	9	Р1= 5
	2	14	10	12	Р2 = 10
	3	15	13	16	Р3 = 13

С ’ij=	0	2	4
	4	0	2
	2	0	3
	q1 = 0	q2 = 0	q3 = 2

С ’ij=	0	2	2
	4	0	0
	2	0	1

↑ Нули в каждой строке и столбце

Z = C₁₁ + C₂₃ + C₃₂ = 5 + 12 + 13 = Σ p_i + Σ q_j = 5 + 10 + 13 +2

Пример:

		1	2	3	4	Р
Cij =	1	1	4	6	3	1
	2	9	7	10	9	7
	3	4	5	11	7	4
	4	8	7	8	5	5

С ’ij=	0	3	5	2
	2	0	3	2
	0	1	7	3
	3	2	3	0
q	0	0	3	0

С ’ij=	0	3	2	2
	2	0	0	2
	0	1	4	3
	3	2	0	0

В данном случае невозможно сразу найти оптимальное решение.

• Проводим минимальное число прямых, чтобы все нули оказались вычеркнуты.

• Выбирается наименьший не вычеркнутый элемент. Он вычитается из каждого не вычеркнутого элемента и прибавляется к каждому элементу стоящему на пересечении проведенных прямых. Если оптимальное решение не найдено, то процедуру проведения следует повторить пока не будет получено оптимальное решение.

С ’ij=	0	2	1	1
	3	0	0	2
	0	0	3	2
	4	2	0	0

↑ нули в каждой строке (столбце)

Z = 1 + 5 + 10 + 5 = 21