Определение кратчайшего расстояния для сетей с циклами

Сети содержат циклы, возникающие из-за возможности двустороннего движения; если дуга ориентирована (движение одностороннее), то расстояние в другом направлении полагается равным бесконечности.

Пусть требуется определить кратчайший маршрут между вершиной 1 и любым другим узлом сети. Расстояния dij запишем в виде таблицы, строки и столбцы которой представляют узлы.

	1	2	3	4	Ui
1		15	11		0
2	3		4	1	15 (12)
3	8	1		5	11
4		∞	3		16 (13)
Vj	0	15(12)	11	16(13)

1. Пусть Vj – сумма длин дуг из узла 1 в узел j. V_j = min {U_i + d_ij} , где U_i – расстояние до узла i i

V₁=0 U₁=V₁=0 Ui=Vj, если i=j

2. Предположим i=1. Найти V_j – U_i для всех j.

Если d_ij ≥ V_j – U_i для всех j, то между узлами i и j не существует более короткого пути. i = i + 1, вычисления повторить.

Если d_ij < V_j – U_i , то вычислить новое значение V’_j = U_i +d_{ij .}

V_j заменяется на V’_j и берется следующий узел, i = i + 1.

Если значение V_j изменилось, то повторить шаг 2, используя измененные значения.

3. Полученные значения V_j определяют кратчайшее расстояние между узлами 1 и любым из узлов j. Для получения соответствующих цепей, найти столбец n, соответствующий узлу, до которого ищется кратчайшее расстояние. Найти строку i, для которой выполняется равенство V_n=U_i+d_{in .}Этот узел предшествует узлу n. Рассмотреть столбец I и для него найти соответствующую строку, т.е. предшествующий узел и т.д., пока не дойдем до 1 узла.

1. U₁ = V₁ = 0

V₂ = min {U₁ + d₁₂} = 15 ; U₂ = 15

V₃ = min {U₁ + d₁₃ ; U₂ + d₂₃ } = min {11;19} = 11 ; U₃ = 11

i=1,2

V₄ = min {U₂ + d₂₄ ; U₃ + d₃₄ } = min {16;16} = 16 ; U₄ = 16

i=2,3

2) j=1 j=3 j=3 j=4

i = 1	1	2	3	4
Vj – U1	*	15	11	*
d1j	*	15	11	*

V_j-U₁<=d_1j - пересчитывать расстояния не требуется

i = 2	1	2	3	4
Vj – U2	- 15	*	- 4	1
d2j	3	*	4	1

V_j-U₂<=d_2j - пересчитывать расстояния не требуется

i = 3	1	2	3	4
Vj – Ui	- 11	4	*	5
d3j	8	1	*	5

V₂-U₃>d₃₂ – расстояние до 2 узла пересчитываем: V_j’=U_i+d_ij, т.е. V₂’=U₃+d₃₂=11+1=12, U₂’=12

i = 4	1	2	3	4
Vj – Ui	*	- 4	- 5	*
d4j	*	∞	3	*

Так как вычислялось новое значение V’_j, то нужно заново пересчитать шаг 2.

Предположим, что шаг 2 пересчитан и пересчитано новое значение V₄’.

Найдем цепь, соединяющую узлы 1 и 4, т.е. n=4. Начинаем с последнего узла. Ему соответствует столбец 4. Для него должно выполняться равенство:

V_n = d_in + U_i. V₄=U_i+d_i4 – равенство выполняется для строки 2, переходим к узлу 2 и соответственно к столбцу 2.

Ст. 4 : 13 = d₂₄ + U_2. ; i = 2

Ст. 2 : 12 = d₃₂ + U_3. ; i = 3

Ст. 3 : 11 = d₁₃ + U_1. ; i = 1

Итак, искомая цепь с кратчайшим маршрутом 4 ← 2 ← 3 ← 1

Рассмотрим еще один пример:

i \ j	1	2	3	4	5	6	7	Ui
1		2	8	11	9			4
2	4		3		5	1		0
3	1	4		∞		2		3
4	5		9			2	23	15(6)
5	2	∞				7	9	5 (2)
6		8	3	5	1		10	1
7				10	4	2		11
Vj	4	0	3	15(6)	5 (2)	1	11

1)

U₂ = V₂ = 0;

V₁ = U₂ + d₂₁ = 0 + 4 = 4 = U₁

V₃ = min {U₁ + d₁₃ ; U₂ + d₂₃} = 3 = U₃

V₄ = min {U₁ + d₁₄} = 15 = U₄

V₅ = min {U₁ + d₁₅ ; U₂ + d₂₅ } = 5 = U₅

V₆ = min {U₂ + d₂₆ ; U₃ + d₃₆ ; U₄ + d₄₆ ; U₅ + d₅₆ } = {1;5;17;12} = 1 = U₆

V₇ = min {U₄ + d₄₇ ; U₅ + d₅₇ ; U₆ + d₆₇ } = {38;14;11} = 11 = U₇

2)

i = 1	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	*	- 4	- 1	11	1	*	*
d1j	*	2	8	11	9	*	*

i = 2	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	4	*	3	*	5	1	*
d2j	4	*	3	*	5	1	*

i = 3	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	1	- 3	*	12	*	- 2	*
d3j	1	4	*	∞	*	2	*

i = 4	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	- 11	*	- 12	*	*	- 14	- 4
d4j	5	*	8	*	*	2	23

i = 5	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	- 1	- 5	*	*	*	- 4	6
d5j	2	∞	*	*	*	7	9

i = 6	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	*	- 1	2	14	4	*	10
d6j	*	8	3	5	1	*	10

i = 7	1	2	3	4	5	6	7
Vj – Ui	*	*	*	- 5	- 9	- 10	*
d7j	*	*	*	10	4	2	*

V’_j = d_ij + U_i. или

V’₄ = d₆₄ + U₆ = 1 + 5 = 6

V’₅ = d₆₅ + U₆ = 1 + 1 = 2

И еще шаг …

3)

7 ← 5 ← 6 ← 2 11

7 ← 6 ← 2 11

6 ← 2 2

5 ← 6 ← 2 2

4 ← 6 ← 2 6

3 ← 2 3

1← 2 4

1← 3 ← 2 4

1 ← 5 ← 6 ← 2 4