Матричные вычисления.

Матрица, расположенная под начальными базисными переменными симплекс-таблицы, называется обратной матрицей. Процесс соответствующих вычислений рассмотрим на примере пары прямой и двойственной задач, рассматриваемых на прошлой лекции.

Пример: max Z = 5 х₁ + 12 х₂ + 4 х₃

{	х1 + 2 х2 + х3 ≤ 10 - (1) 2 х1 - х2 + 3 х3 = 8 - (2)

x₁ , x₂ , x ₃ ≥ 0

Начальная симплекс-таблица:

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	R	Решение
Z	-5	-12	4	0	0	0
Х4	1	2	1	1	0	10
R	2	-1	3	0	1	8

Оптимальное решение прямой задачи:

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	R	Решение
Z	0	0	3/5	29/5	- 2/5 + М	274/5
Х2	0	1	- 1/5	2/5	- 1/5	12/5
Х1	1	0	7/5	1/5	2/5	26/5

Вычисления, связанные с определением новых значений элементов симплекс-таблицы, можно разделить на два типа:

1. вычисление столбцов коэффициентов ограничений;

2. вычисление коэффициентов строки, соответствующей целевой функции.

1. столбец на итерации i=обратная матрица на итерации i*столбец исходной модели

Например, x1 столбец в опт. реш.=

Или столбец решение в опт. табл.=

2. z-коэф-т при xj= , т.е. равен разности между левой и правой частями соответствующего ограничения двойственной задачи.

Значения двойственных переменных yi на любой итерации:

, где Сi – вектор-строка исходных коэффициентов целевой функции при базисных переменных прямой задачи

A^-1 – обратная матрица.

Например,

z-коэффициент при x1=y1+2y2-5

z-коэффициент при x2=2y1-y2-12

z-коэффициент при x3=y1+3y2-4

z-коэффициент при x4=y1-0

z-коэффициент при R=y2+M

В оптимальном решении

z-коэффициент при x1=y1+2y2-5=29/5+2*(-2/5)-5=0

.

.

.

z-коэффициент при R=y2+M=-2/5+M

Тема: Анализ построенной математической модели на чувствительность с использованием обратной матрицы и соотношений двойственности.

После нахождения оптимального решения, в зависимости от рассматриваемой ситуации, необходимо получить новые значения элементов симплекс-таблицы. Если полученное решение не оптимальное, то с помощью обычного симплекс-метода необходимо получить оптимальное решение. Если полученное решение не допустимое, то с помощью двойственного симплекс-метода получить допустимое решение. К недопустимости решений могут привести изменения запасов ресурсов и добавление новых ограничений. К не оптимальности решения могут привести изменения коэффициентов целевой функции и ограничений, а так же включение в модель нового вида производственной деятельности.

Пример: Прямая задача: max Z = 3 х₁ + 2 х₂

{	х1 + 2 х2 ≤ 6 - (1) 2 х1 + х2 ≤ 8 - (2) - х1 + х2 ≤ 1 - (3) х2 ≤ 2 - (4)

x₁ , x₂ ≥ 0

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	х5	Х6	Решение
Z	0	0	1/3	4/3	0	0	38/3
Х2	0	1	2/3	- 1/3	0	0	4/3
Х1	1	0	- 1/3	2/3	0	0	10/3
Х5	0	0	- 1	1	1	0	3
Х6	0	0	- 2/3	1/3	0	1	2/3

Двойственная задача: min w = 6 y₁ + 8 y₂ + y₃ + 2 y₄

{	y1 + 2 y2 - y3 ≥ 3 - (1) 2 y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 2 - (2)

y₁ , y₂ , y₃ , y₄ ≥ 0

Тема: Изменения условия задачи, влияющие (меняющие) на допустимость

1. Изменение правых частей

Предположим, запас исходного продукта А увеличен с 6 до 7 тонн.

(	Х2	)
	Х1		= (	обратн. матрица	)х(	Исходн столбец	)
	Х5
	Х6

(	2/3	- 1/3	0	0	)*(	7	)=(	2	)
	- 1/3	2/3	0	0		8		3
	-1	1	1	0		1		2
	- 2/3	1/3	0	1		2		0

Z = 3 * 3 + 2 * 2 = 13

Предположим, что максимальный суточный запас исходных продуктов составляет не 6 и 8, а 7 и 4 тонны.

(	2/3	- 1/3	0	0	)*(	7	)=(	10/3	)
	- 1/3	2/3	0	0		4		1/3
	-1	1	1	0		1		- 2
	- 2/3	1/3	0	1		2		- 4/3

Z = 3* (1/3) + 2 * (10/3) = 23/3

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	х5	Х6	Решение
Z	0	0	1/3	4/3	0	0	23/3
Х2	0	1	2/3	- 1/3	0	0	10/3
Х1	1	0	- 1/3	2/3	0	0	1/3
Х5	0	0	- 1	1	1	0	- 2
Х6	0	0	- 2/3	1/3	0	1	- 4/3

Полученное решение недопустимо, поэтому воспользуемся двойственным симплекс-методом, чтобы получить допустимое решение.

После применения двойственного метода получим допустимое решение

x₁ = 1 ; x₂ = 2 ; Z = 7 ;

2. Добавление нового ограничения

Если новое ограничение при текущем решении выполняется, то его добавление не изменит полученного решения. Если же новое ограничение при текущем решении не выполняется, то такое ограничение является связывающим, и с помощью двойственного симплекс-метода находится новое решение.

а) x₁ ≤ 4 – новое ограничение (x₁ = 10/3 , x₂ = 4/3)

Выполняется при текущем решении;

б) x₁ ≤ 3 – новое ограничение

Не выполняется при текущем решении;

Необходимо привести новое ограничение к стандартной форме, выразить базисные переменные содержащиеся в ограничении, через небазисные и, используя двойственный метод, найти новое допустимое решение.

x₁ + x₇ = 3 ; x₇ ≥ 0

x₁ – уравнение из оптимальной симплекс-таблицы:

x₁ - (1/3) x₃ + (2/3) x₄ = 10/3

x₁ = 10/3 + (1/3) x₃ - (2/3) x₄

(1/3) x₃ - (2/3) x₄ + x₇ = - 1/3

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	х5	Х6	х7	Решение
Z	0	0	1/3	4/3	0	0	0	38/3
Х2	0	1	2/3	- 1/3	0	0	0	4/3
Х1	1	0	- 1/3	2/3	0	0	0	10/3
Х5	0	0	- 1	1	1	0	0	3
Х6	0	0	- 2/3	1/3	0	1	0	2/3
Х7	0	0	1/3	- 2/3	0	0	1	- 1/3

После применения двойственного симплекс-метода получаем допустимое решение: x₁ = 3 ; x₂ = 3/2 ; Z = 12 ;

! Добавление нового связывающего ограничения не может улучшить значения целевой функции.

Тема: Изменения условий задачи, влияющие на оптимальность решения

1. Изменение коэффициентов целевой функции

Двойственные оценки изменяются в том случае, если меняются коэффициенты при базисных переменных. Если изменяются коэффициенты только при небазисных переменных, следует использовать текущие двойственные оценки.

Пример: а) max Z = 3 х₁ + 2 х₂ изменяем на Z = 5 х₁ + 4 х₂

(у₁, у₂, у₃, у₄) = (коэффициенты при баз. перемен-х) х (обратн. матрица) =

	(	2/3	- 1/3	0	0	)
= (4; 5; 0; 0;) х		- 1/3	2/3	0	0		= (1; 2; 0; 0)
		- 1	1	1	0
		- 2/3	1/3	0	1

Баз. Пер.	Х1	х2	Х3	х4	х5	Х6	Решение
Z	0	0	1	2	0	0	22

б) Z = 4 х₁ + х₂

	(	2/3	- 1/3	0	0	)
(у1, у2, у3, у4) = (1; 4; 0; 0;) х		- 1/3	2/3	0	0		= (-2/3; 7/3; 0; 0)
		- 1	1	1	0
		- 2/3	1/3	0	1

Баз. Пер.	Х1	х2	Х3	х4	х5	Х6	Решение
Z	0	0	- 2/3	7/3	0	0	44/3

Баз. Пер.	Х1	х2	Х3	х4	х5	Х6	Решение
Z	0	0	- 2/3	7/3	0	0	44/3
Х2	0	1	2/3	- 1/3	0	0	4/3
Х1	1	0	- 1/3	2/3	0	0	10/3
Х5	0	0	- 1	1	1	0	3
Х6	0	0	- 2/3	1/3	0	1	2/3

После применения обычного симплекс-метода получим оптимальное решение : x₁ = 4 ; x₂ = 0 ; Z = 16 ;.

2. Добавление нового вида производственной деятельности

Производится более дешевый вид краски для наружных работ, требующий по ¾ тонны исходных продуктов А и Б на 1 тонну конечного продукта. Прибыль, получаемая от реализации 1 тонны новой краски равна 3/2 денежных единиц.

Пример: Прямая задача: max Z = 3 х₁ + 2 х₂ + (3/2) х₇

{	х1 + 2 х2 + (3/4) х7 ≤ 6 - (1) 2 х1 + х2 + (3/4) х7 ≤ 8 - (2) - х1 + х2 - х7 ≤ 1 - (3) х2 ≤ 2 - (4)

x₁ , x₂ , х₇ ≥ 0

Составим ограничение двойственной задачи, соответствующее переменной х₇ :

х₇ : (3/4) у₁ + (3/4) у₂ – у₃ ≥ 3/2

В исходной таблице х рассматривается как небазисная переменная, поэтому двойственные оценки останутся неизменными

(у₁, у₂, у₃, у₄) = (1/3; 4/3; 0; 0)

(столбец при х₇ в опт реш) = (обратн матрица) х (коэффициенты при х₇) =

	(	¾	)=(	¼	)
= (обр матрица) х		¾		¼
		- 1		-1
		0		- ¼

Обычный симплекс-метод:

Баз. Пер.	Х1	х2	х3	х4	х5	Х6	х7	Решение
Z	0	0	1/3	4/3	0	0	- ¼	38/3
Х2	0	1	2/3	- 1/3	0	0	¼	4/3
Х1	1	0	- 1/3	2/3	0	0	¼	10/3
Х5	0	0	- 1	1	1	0	- 1	3
Х6	0	0	- 2/3	1/3	0	1	- 1/4	2/3

x₁ = 2 ; x₂ = 0 ; x₇ = 16/3 ; Z = 14 ;.

! Включение в модель нового вида производств. деятельности может улучшить значение целевой функции.