Раздел: Транспортная модель Тема: Методы получения начального решения

Транспортная модель используется для представления наиболее экономичного плана перевозки одного вида продукции из нескольких исходных пунктов в пункты назначения.

Для построения транспортной модели используются следующие величины:

• Объем производства в каждом исходном пункте а_i ;

• Спрос в каждом пункте назначения b_j ;

• Стоимость перевозки единицы продукции из каждого исходного пункта в каждой пункт назначения c_ij ;.

Цель задачи состоит в определении количества продукции x_ij , которое следует перевезти из каждого исходного пункта в каждый пункт назначения, чтобы транспортные расходы были минимальными.

_{m n}

min Z = Σ Σ C_ij x_ij

^{i=1 j}=1

{	n Σ хij ≤ ai j=1 m Σ хij ≥ bj i=1

x_ij ≥ 0

Транспортная задача называется сбалансированной или закрытой, если суммарный объем производства равен суммарному спросу:

_{m n}

Σ a_i = Σ b_j

^{i=1 j=1}

Тогда в ограничениях знаки неравенства меняются на знаки равенства:

{	n Σ хij =ai j=1 m Σ хij = bj i=1

Сбалансированность модели является обязательным условием для применения специальных методов решения транспортной задачи.

Транспортная модель может быть представлена с помощью транспортной таблицы, строки которой соответствуют исходным пунктам, столбцы – пунктам назначения, коэффициенты С_ij располагаются в правом верхнем углу каждой ячейки.

	b1		b2
a1	x11	c11	x12	c12
a2	x21	c21	x22	c22

Пример: В исходных пунктах имеются запасы продукции 90, 400 и 110 тонн. Потребители должны получить продукт в количестве 140, 300, 160 тонн. Найти такое распределение груза, чтобы затраты на перевозку были минимальными, если матрица затрат имеет вид:

C = (	2	5	2	)
	4	1	5
	3	6	8

_{3 3}

Σ a_i = Σ b_j = 600

^{i=1 j=1}

	b1		b2			b3		Объем
a1		2		5			2	90
a2		4		1			5	400
a3		3		6			8	110
спрос	140		300		160

min Z = 2 х₁₁ + 5 х₁₂ + 2х₁₃ + 4х₂₁ + х₂₂ + 5х₂₃ + 3х₃₁ + 6х₃₂ + 8х₃₃

{	х11 + х12 + х13 = 90 х21 + х22 + х23 = 400 х31 + х32 + х33 = 110 х11 + х21 + х31 = 140 х12 + х22 + х32 = 300 х13 + х23 + х33 = 160

x_ij ≥ 0

В данном случае задача сбалансирована, т.е. сумма объемов производства равна сумме спросов: 90+400+110=140+300+160=600. Если задача не сбалансирована, вводятся дополнительные фиктивные исходные пункты или пункты назначения, куда распределяется избыток или недостаток продукции. Т.к. пункт фиктивный, то стоимость перевозки берется, равной 0.

Специальные методы решения транспортной задачи повторяют шаги симплекс-алгоритма:

• Нахождение начального допустимого решения или опорного плана.

• Проверка его на оптимальность

• Нахождение нового решения, если решение не оптимально.

Нахождение начального допустимого решения можно осуществить тремя способами:

• Правило северо-западного угла

• Метод минимальной стоимости

• Приближенный метод Фогеля

Метод северо-западного угла

Приписывает переменной х₁₁ минимальное значение по объему производства и по спросу. Вычеркивается строка или столбец, где ограничение на спрос или на объем производства выполнено. Корректируется спрос или объем производства. Переходят к ближайшей не вычеркнутой ячейке таблицы. Процесс распределения завершается, когда остается не вычеркнутой одна строка или столбец.

	b1		b2			b3		Объем
a1	90	2		5			2	90
a2	50	4	300	1	50		5	400
a3		3		6	110		8	110
спрос	140		300		160

Базисными переменными являются переменные, соответствующие заполненным клеткам таблицы, т.е. x₁₁, x₂₁, x₂₂, x₂₃, x₃₃.

Количество базисных переменных определяется по формуле:

m+n-1, где m и n – количество строк и столбцов соответственно.

_{m n}

min Z = Σ Σ C_ij x_ij

^{i=1 j=1}

Z = 90*2 + 50*4 + 300 + 50*5 + 110*8 = 1810 д.е.

Х = (	90	0	0	)
	50	300	50
	0	0	110

Метод минимальной стоимости

Из всей таблицы ищется ячейка, которой соответствует наименьшая стоимость, ей приписывается минимальное значение по объему производства и по спросу. Если таких переменных несколько, то выбирается любая. Вычеркивается строка или столбец, где ограничение выполнено, корректируются спросы и объемы производства. Далее среди не вычеркнутых ищется ячейка с минимальной стоимостью. Процесс завершается, когда остается не вычеркнутой одна строка или столбец.

	b1		b2			b3		Объем
a1		2		5	90		2	90
a2	30	4	300	1	70		5	400
a3	110	3		6			8	110
спрос	140		300		160

1. х₂₂ = 300, так как С₂₂ = 1 – min; столбец 2 вычеркнут;

2. х₁₃ = 90; строка 1 вычеркнута;

3. х₃₁ = 110; строка 3 вычеркнута;

4. х₂₁ = 30; столбец 1 вычеркнут;

5. х₂₃ = 70; строка 2 вычеркнута;

Z = 90*2 + 30*4 + 300 + 70*5 + 110*3 = 1280 денежных единиц

Х = (	0	0	90	)
	30	300	70
	110	0	0

Приближенный метод Фогеля

1. Вычислить штраф для каждой строки и столбца, вычитая наименьший элемент строки или столбца из следующего за ним элемента (по величине) той же строки или столбца.

2. В строке или столбце с самым большим штрафом выбрать переменную с самой низкой стоимостью и придать ей минимальное значение по спросу и объему производства. Скорректировать значение спроса и объема, вычеркнуть строку или столбец, где ограничение выполняется. Строка или столбец с нулевым значением производства или спроса в дальнейших вычислениях не участвует.

Если остается не вычеркнутой строка или столбец с положительным объемом производства или спроса, найти базисную переменную с помощью метода наименьшей стоимости.

Если всем не вычеркнутым строкам или столбцам соответствуют нулевые объемы производства и спроса, найти нулевые базисные переменные, используя метод минимальной стоимости.

3. Вычислить новые значения штрафов для не вычеркнутых строк и столбцов, перейти к пункту 2. Вычисления продолжаются, пока останется не вычеркнутой одна строка или столбец. Количество базисных переменных: m+n-1.

	b1		b2			b3		Объем		Штрафы
a1	90	2		5			2	90		3	2		2	-		-
a2	50	4	300	1	50		5	400		3	1	1		1		4
a3		3		6	110		8	110		3	5	-		-		-
Спрос	140		300		160
Штрафы	1		4		3
	1		-		3
	2		-		3
	4		-		5
	4		-		-

m + n – 1 = 5

Z = 1280 денежных единиц