Анализ математической модели на чувствительность после нахождения оптимального решения.

Задача 1: На сколько сократить или увеличить запасы ресурсов?

Прямые, проходящие через оптимальную точку, называются связывающими и активными ограничениями, а ресурсы, соответствующие им, относятся к дефицитным (используются полностью).

Пример: Необходимо определить предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение, и предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее полученного оптимального решения.

точка G (3;2) в (1) ограничении

3 + 2 * 2 = 7 (т.)

Z = 3 * 3 + 2 * 2 = 13 (тыс ден ед)

точка J (6;0) во (2) ограничении

2 * 6 + 0 = 12 (т.)

Z = 3 *6 + 0 = 18 (тыс ден ед)

(4) – недефицитный ресурс

Уменьшение спроса на краску 1 до величины 4/3 никак не повлияет на оптимальное решение.

Полученное оптимальное решение не изменится, если спрос на краску 1 превысит спрос на краску 2 не менее чем на 2 тонн.

ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса ∆ V	∆ Z максимальное изменение дохода
1	Дефицитный	7 - 6 = 1	13 – 38/3 = 1/3
2	Дефицитный	12 – 8 = 4	18 – 38/3 = 16/3
3	Не дефицитный	- 2 – 1 = - 3	0
4	Не дефицитный	4/3 – 2 = - 2/3	0

Задача 2 (задача анализа математической модели на чувствительность):

Увеличение какого объема ресурсов более выгодно? Для этого вводятся характеристика ценности каждой допустимой единицы ресурса.

Уi =	∆ Zi
	∆ Vi

Y₁ = 1/3 тыс ден ед

Y₂ = 4/3 тыс ден ед

Y₃ = 0

Y₄ = 0

При вложении дополнительных средств в первую очередь они должны быть направлены на увеличение ресурса 2.

Задача 3: В каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции?

Алгебраический метод решения задач лп. Стандартная форма линейных оптимизационных моделей

Алгебраический метод решения задач ЛП называется симплекс-методом.

Прежде чем использовать симплекс-метод для решения линейных моделей, их необходимо привести к стандартной форме:

1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью;

2. Значения всех переменных неотрицательны;

3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации.

1. Исходное ограничение можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к правой части (≤) или вычитая избыточную из правой (≥).

x₁ +2x₂ ≤ 6

x₁ +2x₂ + S₁ = 6, S₁ ≥ 0 – остаточная переменная

3x₁ +2x₂ ≥ 5

3x₁ +2x₂ - S₂ = 5, S₁ ≥ 0 – избыточная переменная

Правую часть необходимо сделать неотрицательной, умножая правую и левую части на (-1). При этом знак меняется на противоположный.

2x₁ - x₂ ≤ -5

- 2x₁ + x₂ ≥ 5

- 2x₁ + x₂ - S₁ ≥ 5

2. Любую переменную у_i, не имеющую ограничения в знаке, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных:

y_i = y_i‘– y_i” ; y_i’, y_i”≥ 0

Такую подстановку сделать во всех ограничениях, которые содержат у_i в выражениях для целевой функции.

Особенность у_i’ и у_i” в том, что при любом допустимом решении только одна из этих переменных принимает положительное решение, то есть если у_i’>0, то у_i”=0 и наоборот.

3, Максимизация функции эквивалентна минимизации той же функции взятой с противоположным знаком.

max Z= 5 х₁ + 2 х₂ + 3 х₃

min (-Z)= - 5 х₁ - 2 х₂ - 3 х₃

Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения х₁, х₂, х₃ будут одинаковы при различных знаках целевой функции.

Пример: Привести к стандартной форме: min Z= 2 х₁ + 3 х₂

{	х1 + х2 =10
	- 2 х1 + 3 х2 ≤ -5 ; х1 не ограничено в знаке, х2 ≥ 0
	7 х1 - 4 х2 ≤ 6

{	х1 + х2 =10
	2 х1 - 3 х2 ≥ 5 ;
	7 х1 - 4 х2 ≤ 6

{	х1 + х2 =10
	2 х1 - 3 х2 - S2 = 5 ;
	7 х1 - 4 х2 + S3 = 6

x₁ = x₁’ – x₁” ; x₁’, x₁” ≥ 0

Z = 2x₁’ – 2x₁” + 3 x ₂

{	x1’ – x1” + х2 =10
	2 x1’ – 2 x1” - 3 х2 - S2 = 5 ; x1’, x1”, x2, S3, S2 ≥ 0
	7 x1’ – 7 x1” - 4 х2 + S3 = 6