- •Введение. Классификация математических моделей.
- •Раздел: Линейное программирование Построение математических моделей
- •Анализ математической модели на чувствительность после нахождения оптимального решения.
- •Алгебраический метод решения задач лп. Стандартная форма линейных оптимизационных моделей
- •Симплекс-метод
- •Раздел: Двойственная задача лп. Тема: Взаимосвязь прямой и двойственной задачи.
- •Матричные вычисления.
- •Тема: Анализ построенной математической модели на чувствительность с использованием обратной матрицы и соотношений двойственности.
- •Раздел: Транспортная модель Тема: Методы получения начального решения
- •Тема: Метод потенциалов
- •Тема: Связь в транспортной задаче между методом потенциалов и симплекс-методом
- •Усложненные задачи транспортного типа.
- •Модели на сетях (графах). Теория графов.
- •Минимизация сети
- •Алгоритм нахождения кратчайшего пути для сетей без циклов
- •Определение кратчайшего расстояния для сетей с циклами
- •Представление задачи о кратчайшем пути в виде транспортной задачи с промежуточными пунктами.
- •Тема: Максимальный поток Алгоритм определения максимального потока
Тема: Метод потенциалов
Метод потенциалов используется для проверки полученного начального решения на оптимальность. В методе потенциалов строке i и столбцу j транспортной таблицы ставятся в соответствие так называемые потенциалы Ui и Vj. Для каждой базисной переменной хij они должны удовлетворять следующему условию: Ui + Vj = Cij
Это приводит к системе из m+n-1 уравнений, решая которую получаем значения потенциалов, предполагая, что U1=0. Оценки для небазисных переменных хij определяются из соотношения: Ui + Vj – Cij = Ĉij (Ĉij – оценка для небазисной переменной). Если все оценки для небазисных переменных не положительны, т.е. нулевые или отрицательные, то решение оптимально (аналогично условию оптимальности симплекс-метода в задаче минимизации). Если решение не оптимально, необходимо выбрать включаемую в базис переменную и исключаемую из базиса переменную. Для включения в базис выбирается положительная наибольшая оценка небазисной переменной.
|
V1 = 1 |
V2 = - 2 |
V3 = 2 |
||||
U1 = 0 |
|
2 |
|
5 |
90 |
2 |
|
- 1 |
|
- 7 |
|
|
|||
U2 = 3 |
30 |
4 |
300 |
1 |
70 |
5 |
|
|
|
|
|||||
U3 = 2 |
110 |
3 |
|
6 |
|
8 |
|
|
- 6 |
|
- 4 |
|
|||
U1 + V3 - C11 = Ĉ13 или 0 + 1 – 2 = Ĉ13 или Ĉ13 = -1;
х13 : U1 + V3 = C13 или 0 + V3 = 2 или V3 = 2;
х23 : U2 + V3 = C23 или U2 + 2 = 5 или U2 = 3;
х22 : U2 + V2 = C22 или 3 + V2 = 1 или V2 = - 2;
х21 : U2 + V1 = C21 или 3 + V1 = 4 или V1 = 1;
х31 : U3 + V1 = C31 или U3 + 1 = 3 или U3 = 2;
Так как все оценки для не базисных переменных отрицательны, то решение оптимально.
Нахождение исключаемой из базиса переменной (Построение цикла)
Этот метод эквивалентен условию допустимости в симплекс-методе.
Строится замкнутый цикл, который начинается и заканчивается выбранной не базисной переменной, имеющей наибольшее положительное значение. Эта переменная будет включена в базис на следующей итерации. Каждая ячейка стоящая на изломе цикла, должна содержать базисную переменную. Направление цикла может быть любым. Для каждого базисного решения и соответствующей не базисной переменной строится только один цикл. Если значения включаемой в базис переменной увеличивается на 1, то для сохранения допустимости решения значения базисных переменных на изломах цикла корректируются. Исключаемая из базиса переменная имеет наименьшее значение из значений ячеек, помеченных знаком «-». Все значения корректируются на эту величину. Ячейки, помеченные «+» увеличиваются, ячейки, помеченные «-« уменьшаются. Оптимальность нового базисного решения снова проверяется вычислением потенциалов. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.