3.5. Дифференциальные уравнения вращательного движения тела

Дифференциальное уравнение вращательного движе-ния твердого тела имеет вид

.

Пример 1. Исследуем движение под действием силы тяжести физического маят­ника, т. е. твердого тела, имеющего горизонтальную ось вращения (ось подвеса), не проходящую через центр тяжести те­ла (рис. 453).

Решение. Составим дифференциальное уравнение враще-ния маятника вокруг его оси подвеса:

= —Ph sin φ, или .

Данное уравнение в элементарных функциях не интегри-руется. Для малых же углов отклонения sin φ ≈ φ, и тогда

.

Это дифференциальное уравнение свободных гармонических ко­лебаний с круговой частотой k = и периодом .

Движение физического маятника

Рис. 453 при малых углах отклонения бу­дет описываться зависимостью

φ = A sin (kt + α),

где постоянные А и α определяются начальными условиями.

Определим длину l математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и физический. Эту длину назы-вают при­веденной длиной физического маятника. Как звестно, период малых колебаний математического маятника равен

Т = 2π .

Поэтому l/g =J_я/(Ph). Отсюда получаем приведенную длину физи­ческого маятника

,

где М — масса физического маятника

Задачи

3.5.1. По заданному уравнению вращения φ = 5t² - 2 пластинки, осе­вой момент инерции которой J_z = 0,125 кг·м², определить главный момент внешних сил, действующих на пластинку. (1,25)

3.5.2. Вал двигателя вращается с угловой скоростью ω = 90 е ^-20t + 85 (1 - е ^-20t ). Определить главный момент внешних сил, действу­ющих на вал, в момент времени

t = 0,1 с, если его момент инерции относительно оси вращения равен 1 кг·м². (-13,5)

3.5.3. По заданному уравнению вращения φ = 2(t² + 1) наклонного стержня (рис. 454) с осевым моментом инерции J_z = 0,05 кг·м² опреде­лить главный момент внешних сил, действую­щих на тело. (0,2)

3 .5.4. Диск (рис. 455) вращается вокруг оси Oz по закону φ = t³. Определить модуль момента пары сил, приложенной к диску, в момент времени t = 1 с, если момент инерции диска относитель­но оси вращения равен 2 кг·м². (12)

Рис. 454 Рис. 455 Рис. 456

3.5.5. По заданному уравнению вращения φ = 3 t² - t стержня (рис. 456) с осевым моментом инер­ции J_z = 1/6 кг·м² определить главный мо­мент внешних сил, дейст-вующих на стержень. (1)

3.5.6. По заданному уравнению вращения φ = t³ – 5 t² однородного цилиндра (рис. 457) радиуса R = 1,41 м, мас-сой т = 60 кг определить главный момент внешних сил, действующих на тело, в момент времени t = 2 с. (119)

3.5.7. Конус (рис. 459), масса которого т = 10 кг, а радиус основания R =1 м, вращается вокруг оси симмет-рии по закону φ = 4 sin 2 t. Определить главный момент приложенных к конусу внеш­них сил относительно оси вращения в момент времени t = π/4 с, если момент инерции кону­са J_z = 0,3mR². (- 48)

3.5.8. По заданному уравнению вращения φ = 2sin (πt/2) однородной прямоугольной пли­ты (рис. 459) с моментом инерции относительно оси вра­щения J_z = 10 кг·м² определить главный мо­мент внешних сил, действующих на тело, в момент времени t = 1 с. (- 49,3)

Рис. 457 Рис. 458 Рис. 459

3.5.9. Диск вращается вокруг центральной оси (рис. 460) с угловым ускорением ε = 4 рад/с² под дейст­вием пары сил с моментом М₁ и момента сил сопротивления

М₂ = 6 Н·м. Определить модуль момента М₁ пары сил, если момент инерции диска относительно оси вращения равен 6 кг·м². (30)

Рис. 460 Рис. 461 Рис. 462

3.5.10. Однородный стержень (рис. 461), масса кото-рого т = 2 кг и длина АВ = 1 м, вращается вокруг оси Oz под действием пары сил с моментом M₁ и момента сил сопротивления M₂ = 12 Н·м по закону φ = 3 t². Опреде-лить модуль момента M₁ приложенной пары сил в момент времени t = 1 с. (16)

3 .5.11. Определить угловое ускорение диска (рис. 462) ради­уса r = 0,3 м массой т = 50 кг, если натяже­ния ведущей и ведомой ветвей ремня соответ­ственно равны

T₁ = 2T₂ = 100 Н. Радиус инер­ции диска относительно оси вращения равен 0,2 м. (7,5)

3.5.12. Определить угловое ускоре-ние однород­ного тонкого диска (рис. 463) радиуса R = 0,6 м, массой 4 кг, вращающегося вокруг вертикальной оси Az под действием момента

Рис. 463 М_z = 1,8 Н·м. (5)