- •Динамика
- •3.1. Динамика точки. Две задачи динамики
- •3.1.1. Первая основная задача динамики материальной точки
- •Задачи Определение сил по заданному движению
- •3.1.2. Вторая основная задача динамики материальной точки
- •При решении второй основной задачи динамики материальной точки необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
- •2) Изобразить активные силы, действующие на точку.
- •А) Движение груза
- •3.2. Теорема о движении центра масс
- •3.3. Теорема об изменении
- •Задачи Импульс силы. Количество движения
- •3.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •3.4.1. Моменты инерции
- •3.4.2. Кинетический момент системы
- •3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента системы
- •3.5. Дифференциальные уравнения вращательного движения тела
- •3.6. Теорема об изменении кинетической энергии
- •3.6.1. Работа и мощность силы
- •3.6.2. Кинетическая энергия
- •Задачи Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и твердого тела при поступательном движении
- •Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела
- •3.7. Принцип даламбера
- •Метод кинетостатики для материальной точки
- •Метод кинетостатики для твердого тела и механической системы
- •3.8. Принцип возможных перемещений
- •Задачи Возможные перемещения системы
- •3.9. Общее уравнение динамики системы
- •Pис. 567 Так как , а в силу равномерности вращения, то , т. Е.
- •Применение общего уравнения динамики для описания движения системы тел
Pис. 567 Так как , а в силу равномерности вращения, то , т. Е.
aA = ω2l sin φ.
Таким образом,
FAи = FВи = mω2l sin φ.
При этом силы инерции являются центробежными и направлены перпендикулярно оси вращения.
Если не пренебрегать размерами муфты, то к каждой частице муфты будет приложена сила инерции , также являющаяся центробежной. Приложив силы инерции, сооб-щим системе возможное перемещение δφ, повернув мысленно стержень АВ вокруг точки О в плоскости рисунка. Определим элементарную работу задаваемых сил и сил инерции.
При повороте твердого тела . Обозначая РА = РВ = P = тg - веса грузов, получим:
; ;
; .
Работа упругих сил /
Работу веса муфты С найдем по формуле
,
где δz - изменение расстояния муфты от точки О.
Так как z = l cos φ, то и, следовательно, .
Работа сил инерции на возможном перемещении равна
нулю, так как эти силы перпендикулярны элементарным пере-мещениям. Таким образом, согласно (81)
.
Подставив найденные значения, получим
,
отсюда
Пример 2. Система состоит из четырех масс m1, m2, т3, т4, соеди-ненных попарно и подвешенных с помощью блоков А, В, С (рис. 568). Определить, при каком соотношении масс груз с массой т4 будет оста-ваться на месте, если в начальный момент система находилась в покое. Массой блоков, нитей и трением пренебречь.
Решение. Система имеет три степени свободы. Обозначим абсо-лютные координаты грузов через y1,
Рис. 568 у2, у3, у4. Активными силами
являются веса. Согласно уравнению (80)
.
Установим зависимость между перемещениями δy1, δу2, δу3, δу4. для чего составим уравнения связей. Так как все нити предполагаются нерастяжимыми, то, обозначая через L1, L2, L3 длины нитей, получим
y1-s1+ у2 - s1 + πrA= L1; s1+ s2 + πB = L2; у3 - s2 + у4 - s2 + πrC = L3.
Умножая второе уравнение на 2 и складывая все три уравнения (чтобы исключить s1 и s2), получим
y1 + у2 + у3 + у4 = 2L2 - 2πrB + L1 + πrA+ L3 - πrC = const.
(поскольку система имеет три степени свободы, это единст-венное уравнение связи). Варьируя, найдем δy1+δу2+δу3+δу4= 0, а дважды дифференцируя по времени, получим
al +a2 +a3 +a4 = 0.
Заменяя δy4 его выражением через δy1, δу2, δу3, получим
[m1(a1 - g) - m4(a4 - g)]δy1 + [m2(a2 - g) - m4(a4 - g)] δу2 +
+[m3(a3 - g) - m4(a4 - g)] δу3 = 0.
Так как вариации δy1, δу2, δу3 взаимно независимы, то коэффициенты при них должны быть равны пулю, отсюда
m1(a1 - g) = m4(a4 - g);
m2(a2 - g) = m4(a4 - g);
m3(a3 - g) = m4(a4 - g).
Умножая эти равенства соответственно на т2т3, т1m3, т1т2 и складывая, получим
.
Для того чтобы груз массой т4 при отсутствии начальной скорости не двигался, необходимо, чтобы a4 = 0, т. е.
.
Разделив обе части этого соотношения на т1т2т3, можем представить его в виде
.
Это и есть искомая зависимость между массами грузов.
Задачи
3.9.1*. К ведущему барабану I радиусом R подъемного механизма приложен постоянный вращающий момент М (рис. 528). Oпределить модуль ускорения поднимаемого груза А, если радиусы барабанов //
Рис. 569 и III соответственно равны r2 и r3, передаточное число z5/z4 = u, а масса груза равна т, не учитывая масс вращающихся частей и тросов и пренеб-регая трением в осях.
Ответ:
3.9.2*. Решить предыдущую задачу с учетом масс вращающихся частей механизма, приняв моменты инерции: ведущего барабана – J1, барабана II с зубчатым колесом – J2 барабана III с зубчатым колесом – J3.
Ответ: .
3.9.3*. На трех сплошных однородных валах (рис. 570), к каждому из которых приложен вращающий момент М, находится балка массой т2. Определить мо-дуль ускорения балки, если масса каждого вала равна т1, а радиус равен r, считая, что между валами и балкой сколь-жение отсутствует. Трением в
Рис. 570 осях пренебречь.
Ответ: .
Определение обобщенных сил инерции в системах с одной и двумя степенями свободы
3.9.4. Могут ли элементарные работы сил инерции в общем уравнении динамики, составленном для механической системы с одной степенью свободы, иметь разные знаки? (Нет)
3.9.5. Определить обобщенную силу инерции, соответствующую обобщенной координате х2 (рис. 571), если сила инерции тела 1 Ф = 5 Н, переносная и относи-тельная силы инерции тела 2 соответственно = 1 Н, = 8 Н. (-7,29)
3.9.6. Определить обобщенную силу инерции, соот-ветствующую обобщенной координате х1 (рис. 672), если сила инерции тела 1 Ф1 = 5 Н, переносная и тносительная силы инерции тела 2 соответственно = 1 Н, = 8 Н. (-0,344)
3 .9.7. Определить обобщенную силу инерции, соответствующую обобщенной координате х2 (рис. 573 ), если сила инерции тела 1 Ф1= 8 Н, переносная и относи-тельная силы инерции тела 2 соответственно = 5 Н, = 5 Н. (-10)
Рис. 571 Рис. 572 Рис. 573
3.9.8. Определить обобщенную силу инерции, соот-ветствующую обобщенной координате х1 (рис. 574), если сила инерции тела 2 Ф1 = 4 Н, переносная и относитель-ная силы инерции тела 2 соответственно =2 Н, =1 Н, переносная и относительная силы инерции тела 3
соответственно = 2 Н, = 1 Н (-9)
Рис. 574 Рис. 575
3.9.10. Определить обобщенную силу инерции, соответствующую обобщенной координате φ1 (рис. 575), если сила инерции тела 2 Ф2 = 0,4 Н, переносная и отно-сительная силы инерции тела 3 соответственно = 0,2Н = 0,1 Н, моменты сил инерции = 0,4 Н м, = 0,1 Н·м, радиус r = 0,2 м (-0,54)