3.1.2. Вторая основная задача динамики материальной точки

(обратная первой)

Вторая задача динамики точки заключается в том, что за­дана сила, действующая на точку, и асса точки, а требуется определить закон (уравнения) движения точки.

Дано: т, F.

Определить x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t).

Эта задача решается интегрированием дифферен-циаль­ных уравнений движения точки:

После интегрирования уравнений возникают произ-вольные постоянные. Эти произвольные постоянные определяются по начальным условиям движения. Начальные условия берутся из текста задачи. С точки зрения математики начальные условия движения точки за­ключаются в том, что при заданном значении аргумента (t = t₀) задаются значения функций x(t₀) = x₀, y(t₀)= y₀, z(t₀) = z₀ и их первых производных .

С точки зрения кинематики начальные условия движения точки заключаются в том, что при заданном значении времени (t = t₀) задается по­ложение точки

x(t₀) = x₀; y(t₀)= y₀; z(t₀) = z₀

и скорость точки через ее проекции на оси координат:

.

В самом общем случае правые части дифференциаль­ных уравнений зависят от времени t, положе­ния точки (x, у, z) и скорости точки. Такие дифференциаль-ные уравнения интегрируются до конца только в частных случаях. Например, когда правая часть является по­стоянной величиной, либо простейшей функцией только времени, либо только расстояния, проходимого точкой, либо только ско­рости точки и др.

При решении второй основной задачи динамики материальной точки необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

1) изобразить материальную точку в текущий момент вре­мени.

2) Изобразить активные силы, действующие на точку.

3) освободить точку от связей, заменяя действие связей реакциями.

4) выбирать систему координат. Начало координат системы следует помещать в начальном положении точки и оси коорди­нат направлять так, чтобы координата точки в текущий момент и проекции скорости ее на эти оси были положительными (х>0, у>0, z>0, v_х >0, v_y >0, v_z >0).

Если точка движется по окружности, то рекомендует-ся вы­бирать оси естественной системы координат, сов-местив начало координат с текущим положением точки, и направить каса­тельную к траектории точки так, чтобы для текущего положе­ния точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были поло-жительными (S>0, v_τ>0). Главную нормаль нужно направить в сторону вогнутости траектории.

5) cоставить дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат. При этом следует помнить, что в полученных дифференциальных уравне-ниях проекции всех сил необходимо выразить через те переменные (t, x, у, ), от которых эти силы зависят.

6) проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения движения точки. Способ интегрирования уравнений зависит от их вида.

Если на точку действуют, кроме постоянных сил, силы, за­висящие только от одной переменной, то чаще всего такие урав­нения решаются путем разделения переменных Иногда систему трех дифференциальных уравнений второго порядка:

выгодно заменить эквивалентной системой, состоящей из шести уравнений, но первого порядка:

.

В том случае, когда по условию задачи нужно найти ско­рость точки как функцию текущих координат ее и сила зави­сит только от этих координат или скорости точки, то из диф­ференциальных уравнений переменную t исключаем с помощью подстановок:

.

7) составить начальные условия движения по тексту задачи.

8) по начальным условиям определить произвольные посто­янные интегрирования.

9) найденные произвольные постоянные подставляем в ре­зультат интегрирования дифференциальных уравне-ний движения точки. Это и будут уравнения движения точки (закон дви­жения).

Пример 1. Сила функция постоянная. На шероховатой наклонной плоскости (рис. 368) находится груз А веса Р₁, связанный с грузом В веса Р, нитью, перекинутой через блок С. Определить закон движения грузов если вначале грузы находились в покое, коэффициент трения груза А о наклонную пло­скость равен f, угол наклона плоскости к горизонту ра­вен α

Решение. Грузы А и В можно считать материальными точ­ками, так как эти грузы движутся поступательно. При решении задачи рассматриваем движение

каждого груза в отдельности.

Рис. 368. Рис. 369