Задачи Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и твердого тела при поступательном движении

3.6.22. Тело массой т = 100 кг (рис. 483) начинает движе­ние из состояния покоя по горизонтальной шерохо-ватой плоскости под действием постоян­ной силы F. Пройдя путь, равный 5 м, скорость тела становится равной 5 м/с. Определить модуль силы F, если сила трения скольжения F_тр = 20 Н. (270)

3 .6.23. Хоккеист, находясь на расстоянии 10 м от ворот, клюшкой сооб­щает шайбе, лежащей на льду, скорость 8 м/с. Шайба, скользя по по­верхности льда, влетает в ворота со скоростью 7,7 м/с. Определить коэффициент трения скольжения между шайбой и поверхностью льда. (2,40·10^-2)

Рис. 483 Рис. 484 Рис. 485

3.6.24. По наклонной плоскости (рис. 484) спускается без начальной скорости тело массой т = 1 кг. Оп­ределить кинетическую энергию тела в момент времени, когда оно прошло путь, равный 3 м, если коэффициент трения скольжения между телом и наклонной плоскостью f = 0,2. (9,62)

3.6.25. По наклонной плоскости (рис. 485) спускается без начальной скорости груз массой т. Какую ско­рость и будет иметь груз, пройдя путь, равный 4 м от начала движения, если коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен 0,15? (5,39)

3 .6.26. К ползуну 1 (рис. 486) массой т = 1 кг прикреплена пружина 2. Пружину сжимают из свободного состояния на вели-чину 0,1 м, после чего груз отпускают без начальной скорости. Определить жесткость

Рис. 486 пружины, если груз, пройдя путь, равный

0,1 м, приобретает скорость 1 м/с. (100)

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела

3.6.27. К валу АВ жестко прикреплен горизон­тальный однородный стержень (рис. 487) длиной l = 2 м и массой т = 12 кг. Валу сообщена угло­вая скорость ω₀ = 2 рад/с. Предоставленный самому себе, он остановился, сделав 20 обо­ротов. Определить момент трения в подшип­никах, считая его постоянным. (0,255)

3 .6.28. Математический маятник 1 массой т и длиной l и однородный стержень 2 массой т и длиной 2l отпускают без начальной скорости из заданных на рис. 488 положений. Укажите номер тела, скорость центра масс которого бу­дет больше в нижнем положении. (1)

Рис. 487 Рис. 488 Рис. 489

3.6.29. Тонкостенный цилиндр массой т и ради­уса R = 0,5 м катится без скольжения по гори­зонтальной плоскости (рис. 489). Определить путь, прой­денный центром С цилиндра до остановки, если в начальный момент времени угловая скорость цилиндра ω₀ = 4 рад/с. Коэффициент трения качения δ = 0,01 м. (20,4)

3 .6.30. Однородный диск массой т и радиуса r (рис.490) катится без скольжения по наклонной плос­кости вверх. В начальный момент времени скорость центра диска v₀ = 4 м/с. Определить путь, пройденный центром С диска до останов­ки. (2,45)

Рис. 490 Рис. 491 Рис. 492

3.6.31. Тонкое кольцо радиуса r = 0,1 м (рис. 491) катится без скольжения из состояния покоя I по внутрен-ней поверхности горизонтального цилиндра радиуса R = 0,6 м. Определить скорость центра кольца в нижнем положении II. (1,57)

3.6.32. Через неподвижный блок перекинута нить к концам которой подвешены грузы массой 2 и 4 кг. Определить ускорение грузов. (3,27)

3.6.33. Грузы 1 и 2 массой m₁= 2 кг и т₂ = 1 кг подвешены к концам гибкой нити, перекину­той через блок (рис. 492). Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на вы­соту h = 3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя. (4,43)

3.6.34. Грузы 1 и 2 одинаковой массы т, соеди­ненные между собой гибкой нитью (рис. 493), движутся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость v₀ = 2 м/с. Определить коэффициент трения скольжения, если тела останавливают­ся, пройдя путь, равный 4 м. (5,10·10^-2)

Рис. 493 Рис. 494 Рис. 495

3.6.35. Одинаковые зубчатые колеса 1 и 2 массой 2 кг каждый (рис.494) приводятся в движение из состоя­ния покоя постоянным моментом пары сил М = 1 Н·м. Опре-делить угловую скорость колес после двух оборотов, если радиус инер­ции каждого из колес относительно оси вращения равен 0,2 м. (12,5)

3.6.36. Ременная передача (рис.495) начинает движе-ние из состояния покоя под действием постоянного мо-мента пары сил М = 2,5 Н·м. Моменты инерции шкивов относительно их осей враще­ния J₂ = 2J₁ = 1 кг·м². Определить угловую скорость шкива 1 после трех оборо-тов, если радиусы шкивов R₂ = 2R₁. (11,2)

3.6.37. Момент инерции зубчатого колеса 1 (рис. 496) отно­сительно оси вращения равен 0,1 кг·м². Общая масса рейки 2 и груза 3 равна 100 кг. Определить скорость рейки при ее перемеще­нии на расстояние х = 0,2 м, если вначале сис­тема находилась в покое. Радиус колеса r = 0,1 м. (1,89)

Рис. 496 Рис. 497 Рис. 498

3.6.38. Однородные цилиндрические катки 1 и 2 мас-сой 20 кг каждый (рис. 497) приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М = 2 Н·м. Определить скорость осей катков при их перемеще-нии на расстоя­ние 3 м, если радиусы R₁ = R₂ = 0,2 м. (1)

3.6.39. Движение шкива 2 ременной передачи (рис. 498) начинается из состояния покоя под действием постоянного момента М = 0,5 Н·м. После трех оборотов одинаковые по массе и разме­рам шкивы 1 и 2 имеют угловую скорость 2 рад/с. Определить момент инерции одного шкива относительно его оси вращения. (2,36)

3.6.40. Определить скорость груза 2 (рис. 499) в момент времени, когда он опустился вниз на расстоя­ние s = 4 м, если массы грузов т₁ = 2 кг, m₂ = 4 кг. Система тел вначале находилась в покое. (7,23)

3 .6.41. Одинаковые блоки 1 и 2 массой т₁ = m₂ и радиусами R₁ = R₂ (рис. 500) представляющие собой однородные диски, начинают движение из состояния покоя под действием силы тя­жести. Определить скорость центра С блока 1 после того, как он опустился вниз на рассто­яние s = 1 м. (2,37)

Рис. 499 Рис. 500 Рис. 501

3.6.42*. Вагонетка А при помощи лебедки В (рис. 501) опускается по наклонной плоскости со скоростью 2 м/с.

Найти величину М постоянного тормозящего момента, который нужно приложить к барабану лебедки, чтобы после начала торможения вагонетка прошла до остановки путь 10 м. Масса вагонетки без колес равна 10,2 кг. Колеса читать сплошными однородными дисками. Радиус барабана равен 0,2 м, а его момент инерции относительно оси вращения – 0,4 кг·м². Колеса катятся по рельсам без скольжения.

Ответ: М = 251 Н·м.

3.6.43*. Груз А массой т₁ опускается на невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок В и намотан на барабан D, заставляя при этом колесо Е катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 502). Барабан D радиусом r жестко связан с колесом Е радиу-сом R их общая масса равна т₂, а радиус инерции относительно горизонтальной оси С равен ρ. Найти скорость груза А после того, как он из состояния покоя опустился на высоту h.

Ответ: .

Рис. 502 Рис. 503 Рис. 504

3.6.44*. Под действием приложенного к колесу I момента М и сил тяжести звеньев механизм начинает движение из состояния покоя, показанного на рис. 503. Найти величину постоянного момента М, если в момент, когда колесо I повернулось на угол 3π/2 рад, его угловая скорость стала равной ω₁. Колесо I-однородный диск массой 2т и радиусом r, шатун II-однородный тонкий стержень массой т и длиной 4r, ползун III – материаль-ная точка массой т/2.

Ответ:

3.6.45*. Эпициклический механизм расположен в вертикальной плоскости. Из состояния покоя (показаного на рис. 504) он приводится в движение моментом М, приложенным к кривошипу ОА. т_ОА = т, т _II = 2т, r₁= 2r, r₂ = r, М = 10mgr. Найти угловую скорость кривошипа как функцию угла его поворота.

Ответ: .

3.6.46*. Колесо II радиусом r₂ и массой m₁, которое приводится в движение кривошипом ОА, катится без скольжения по неподвижному колесу I радиусом r, (рис. 504). Масса кривошипа т₂. Колесо II считать однородным сплошным круглым диском, а кривошип - однородным тонким стержнем. Трением в подшипниках пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости, . Найти угловое ускорение кривошипа, если к нему приложен постоянный вращающий момент М, а к колесу II - постоянный тормозящий момент M₂.

Ответ:

3.6.47*. Линейка АВ эллипсографа (рис. 505) шарнир-но соединена с кривошипом ОС, который может вращать-ся вокруг оси О, а также с ползунами А и В, скользящими по прямолинейным направляющим ОА (вертикальной) и ОВ (горизонтальной). Кривошип массой m и линейку массой 2т считать однородными тонкими стержнями. Масса каждого ползуна А и В равна 3т, ОС = АС= СВ = а. В начальный момент α = 30° и система находится в покое. Пренебрегая трением, найти угловую скорость кривоши-па после того, как он повернулся на 60°, если к нему приложен постоянный вращающий момент М.

Ответ: .

3.6.48*. Под действием приложенного к кривошипу ОА момента М и сил тяжестизвеньев механизм начинает движение из состояния покоя, показанного на рис. 506. Найти угловую скорость кривошипа, когда он повернется на угол φ= 3π/2. Кривошип ОА и шатун АВ считать тонки-ми однородными стержнями, колесо D - однородным диском. Колесо катится без проскальзывания, ОА =l, АВ = 4l, r = l, m_OA = m, т_AB = 4m, m_D = 8m, М = 3mgl.

Ответ: ω = 1,42 .

Рис. 505 Рис. 506

3.6.49*. Вагонетка А при помощи лебедки B начи-нает подниматься из состояния покоя по наклонной плоскости (рис. 501). К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент M = 120 Н·м. Масса вагонетки без колес m₁ = 81,6 кг, масса каждого из четырех колес m₂ = 5,1 кг, колеса считать сплошными однородными дисками, угол α = 30°, радиус барабана R = 20 см, его момент инерции относительно оси вращения J= 0,40 кг·м², колеса катятся по рельсам без скольжения. Найти зависимость скорости вагонетки от времени.

Ответ: v = 0,82t м/с.

3.6.50*. Груз А массой m₁, подвешенный к подвижно-му блоку В массой m₂ начинает падение из состояния покоя, приводя в движение всю систему (рис. 507). Для стабилизации падения груза А к барабану D массой m₃ и радиусом R прикладывается тормозящий момент, пропор-циональный угловой скорости барабана: М = kω_D. Считать барабан и блок однородными сплошными дисками. Найти максимальную скорость груза А.

Ответ: .

Рис.507 Рис. 508

3.6.51*. Однородный сплошной диск радиусом r = 0,5 м может катиться в вертикальной плоскости без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндра радиусом R = 2 м. Найти период малых колебаний центра диска относительно положения его статического равновесия.

Ответ: Т = = 3 с.

3.6.52*. Линейка АВ эллипсографа массой 1,2 кг и длиной 0,4 м удерживается в горизонтальном положении статического равновесия вертикальной пружиной AD жесткостью 117,6 Н/м (рис. 508). Масса каждого из ползунов А и В равна 0,2 кг. Пренебрегая трением, найти частоту и период малых колебаний линейки около положения ее статического равновесия.

Ответ: k = 14 рад/с, Т = 0,45 с.

3.6.53*. Груз А массой 20 кг опускается вместе с подвижным блоком В массой 4 кг и радиусом r = 10 см на невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок D радиусом r₁= r и приводящей в движение барабан Е массой 10 кг и радиусом r₂ = r (рис. 509). Барабан катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол = 60°. Считая подвижный блок и барабан сплошными однородными дисками и пренебрегая массой блока D найти ускорение груза А.

Ответ: a = 0,76 м/с².

3.6.54*. Центр однородного диска массой m и радиусом r, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен с неподвижной стенкой пружиной жесткостью с = 2mg/r. К центру диска приложена сила . В начальный момент диск покоится в положении статического равновесия. Найти движение центра диска.

О твет: х = .

Рис. 509 Рис. 510

3.6.55*. Доска АВ массой 3,5 кг, к которой прикреп-лены две одинаковые пружины жесткостью 490 Н/м каждая, лежит на двух одинаковых катках массой 2 кг (рис. 510). Пружины крепятся к неподвижным стенкам. К доске приложена возмущающая сила S = Н sin ωt, причем

H = 8 Н, а ω = 12 рад/с. Скольжение между доской и кат-ками, а также между катками и горизонтальной плоско-стью отсутствует. Найти вынужденные колебания доски.

Ответ: х = 3 sin 12t см.