3. Динамика

3.1. Динамика точки. Две задачи динамики

3.1.1. Первая основная задача динамики материальной точки

Первая основная задача динамики точки заключается в том, что задан закон (уравнения) движения точки и ее масса, а требуется определить силу, действующую на точку.

Дано: т, x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃ (t).

Определить .

Эта задача решается дифференцированием заданных уравнений движения и подстановкой результатов дифференцирования в уравнения:

(75)

Величина и направление силы действующей на точку находится по следующим формулам:

(76)

При решении первой задачи динамики нужно придер-живаться следующей последовательности действий:

1) изобразить точку в текущий момент времени;

2) изобразить активные силы, действующие на точку;

3) освободить точку от связей, заменить действие связей реакциями;

4) выбирать систему координат;

5) составить дифференциальные уравнения движения точки по формулам (75).

В тех задачах, в которых траекторией точки является окружность, дифференциальные уравнения движения выгодно брать в естественной форме:

; (77)

6) найти по заданному закону движения токи проекции ускорения на оси координат по формулам:

; (78)

7) подставить найденные величины в уравнения (75), найти проекции силы, а по найденным проекциям силы определить величину и направление силы по формулам (76).

В частном случае прямолинейного движения точки, для уп­рощения решения задачи, при составлении дифференциальных уравнений движения (75) рекомендуется одну из осей коорди­нат направлять по траектории точки в сторону движения. В случае плоского движения точки систему координат хОу нужно брать в плоскости движения, причем так, чтобы координаты текущего положения точки были положительными. При составлении дифференциальных уравнений (75) касательную к траектории точки следует направлять в сторону положитель­ного направления отсчета дуг, а главную нормаль—в сторону вогнутости траектории

Задачи Определение сил по заданному движению

3.1.1. Материальная точка массой 1,4 кг движется прямолинейно по за­кону х = 6t² + 6t + 3. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке. (16,8)

3.1.2. Материальная точка массой т = 10 кг движется по оси Ох соглас­но уравнению х = 5 sin 0,2 t. Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку в момент времени t = 7 с. (1,97)

3.1.3. Тело М массой 2 кг дви-жется прямолиней­но по закону

х = 10 sin 2t под действием силы (рис. 366). Найти наибольшее значе-

Рис. 366 ние этой силы. (80)

3.1.4. Материальная точка массой т = 6 кг движется в горизон­тальной плоскости Оху с ускорением . Определить модуль силы, действующей на нее в плоскости движения. (30)

3.1.5. Материальная точка массой т движется в плоскости Оху соглас­но уравнениям х = bt, у = ct, где b и с - постоянные. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке. (0)

3.1.6. Материальная точка массой m = 7 кг движется в горизонтальной плоскости Оху со скоростью . Определить модуль силы, действующей на нее в плоскости движения. (4,48)

3.1.7. Движение материальной точки массой т = 9 кг в плоскости Оху определяется радиус-вектором . Определить модуль равнодействую-щей всех сил, приложенных к точке. (14,1)

3.1.8. Движение материальной точки массой т = 8 кг происходит в горизонтальной плоскости Оху согласно уравнениям х = 0,05 t³ и у = 0,3 t². Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент времени t = 4 с. (10,7)

3.1.9. Материальная точка массой т = 16 кг движется по окружности радиуса R = 9 м со скоростью v = 0,8 м/с. Определить проекцию рав­нодействующей сил, прило-женных к точке, на главную нормаль к траектории. (1,14)

3 .1.10. Материальная точка М массой 1,2 кг (рис. 367) движется по окружности радиуса r = 0,6 м согласно уравнению s = 2,4 t. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке.

Рис. 367 (11,5)

3.1.11. Материальная точка массой т = 18 кг движет-ся по окружности радиуса R = 8 м согласно уравнению . Определить проекцию равнодействующей сил, приложенных к точке, на касательную к тра­ектории в момент времени t = 10 с. (32,5)

3.1.12. Материальная точка массой т = 20 кг движет-ся по окружности радиуса R = 6 м согласно уравнению s = ln t. Определить проекцию равнодействующей сил, приложенных к точке, на нормаль к траекто­рии в момент времени t = 0,5 с. (13,3)

3.1.13. Материальная точка массой т = 14 кг движет-ся по окружности радиуса R = 7 м с постоянным касса-тельным ускорением а_τ = 0,5 м/с². Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку, в момент времени t = 4 с, если при t₀ = 0 скорость v₀ = 0. (10,6)

3.1.14. Материальная точка массой т = 1 кг движется по окруж­ности радиуса r = 2 м со скоростью v = 2t. Определить модуль равнодействующей сил, приложен-ных к точке, в момент времени t = 1 с. (2.83)

3.1.15. Материальная точка массой m = 22 кг движет-ся по окружности радиуса R = 10 м согласно уравнению s = 0,3 t². Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку, в момент времени t = 5 с. (23,8)