3.4. Теорема об изменении кинетического момента

3.4.1. Моменты инерции

Осевые:

Центробежные:

Полярный .

.

Задачи

3.4.1. Определить момент инерции относительно плоскости Оху материальной точки массой 2 кг, если ее координаты х = 0,8 м, у = 0.6 м, z = 0,4 м. (0,32)

3.4.2. Определить момент инерции относительно плоскости Оху механической системы (рис. 425), состоя­щей из четырех одинаковых материальных точек, если масса каждой точки т = 1,5 кг, а радиус r = 0,4 м. (0,48)

3 .4.3. Определить момент инерции относительно оси Оу механической системы (рис. 426), состоящей из трех одинаковых материальных точек, если радиус r = 0,6 м, а масса каждой точки т = 3кг. (1,62)

Рис. 425 Рис. 426 Рис. 427

3.4.4. Определить момент инерции относительно центральной оси Оу однородной тонкой квад­ратной пластины (рис. 427) массой т = 0,3 кг, имеющей отверстие радиуса r = 0,04 м. (4,89 ·10^-4)

3.4.5. Определить полярный момент инерции ме­ханической системы (рис. 428), состоящей из трех одина­ковых материальных точек, относительно нача­ла координат О, если расстояние l = 0,3 м, а масса каждой точки т = 0,5 кг. (0,27)

3.4.6. Определить момент инерции однородного диска (рис. 429) относительно центра О, если его момент инерции относительно оси Ох равен 3 кг·м². (6)

3.4.7. Определить центробежный момент инерции J_xy материальной точки массой 0,5 кг относительно осей Ох, Оу, если координаты точки х = 0,4 м, у = -0,5 м, z = 0,4 м. (-0,1)

Рис. 428 Рис. 429 Рис. 430

3.4.8. Определить центробежный момент инер­ции механической системы (рис. 430), состоящей из четы­рех

одинаковых материальных точек, относи­тельно осей Ох, Оу, если расстояния l₁ = 0,4 м, l₂ = 0,8 м, а масса каждой точки т = 2 кг. (0,64)

3.4.9. Определить центробежный момент инер­ции механической системы (рис. 431), состоящей из двух материальных точек, относительно осей Ох, Оу. Массы точек т₁ = 1 кг, т₂ = 2 кг, рассто­яние l = 0,5 м. (-0,325)

Рис. 431 Рис. 432 Рис. 433

3.4.10. Определить центробежный момент инер­ции J_xy однородного конуса (рис. 432) относительно осей Оу, Oz. (0)

3.4.11. Определить радиус инерции тела (рис. 433) массой т = 150 кг относительно оси Oz, если его момент инерции относительно этой оси равен 1,5 кг·м². (0,1)

3.4.2. Кинетический момент системы

Кинетическим моментом системы называют главный момент количества движения всех точек системы:

.

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси его вращения определяют формулой

Задачи

3.4.12. Материальная точка массой т = 0,5 кг движется по оси Оу согласно уравнению у = 5 t². Определить момент количества движения этой точки относительно центра О в момент времени t = 2 c. (0)

3.4.13. Материальная точка массой т = 1 кг движется по закону: х = 2t, у = t³, z = t⁴. Определить момент количества движения этой точки относительно оси Оу в момент времени t = 2 с. (-96)

3.4.14. Скорость материальной точки массой т = 1 кг определяется вы­ражением . Определить модуль момента количества движения точки относитель-но начала координат в момент времени t = 2 с, когда ее координаты х = 2 м, у = 3 м, z = 3 м. (10,0)

3.4.15. Трубка (рис. 434) равномерно вращается с угловой скоростью ω = 10 рад/с. По трубке движется шарик массой m = 1 кг. Определить момент количества движения шарика относительно оси вращения трубки, когда расстояние ОМ = 0,5 м и скорость шарика относительно труб­ки v_r = 2 м/с. (2,5)

3.4.16. Конус (рис. 435) вращается равномерно вокруг оси Az с угловой скоростью ω = 4 рад/с. По обра­зующей конуса движется материальная точка М массой

1 кг. Определить момент количества движения материальной точки относительно оси Oz в положении, когда расстояние ОМ = 1 м, если угол α = 30°. (1)

Рис. 434 Рис. 435 Рис. 436

3.4.17. Однородный стержень (рис. 436) длиной l = 1 м и массой т = 6 кг вращается с угловой ско­ростью ω = 10 рад/с. Определить кинетический момент стержня относительно центра О. (20)

3.4.18. Тонкостенная труба (рис. 437) массой т = 10 кг ка­тится по горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить кинети­ческий момент цилиндра относительно мгно­венной оси вращения, если радиус r = 10 см. (2)

Рис. 437 Рис. 438 Рис. 439

3.4.19. Кривошип ОА (рис. 438) вращается с постоян-ной угловой скоростью ω = 6 рад/с. Колесо 2 ка­тится по неподвижному колесу 1. Определить кинетический момент колеса 2 относительно его мгновенного центра скоростей К, если радиус r = 0,15 м. Колесо 2 считать однород­ным диском массой т = 3 кг. (1,22)

3 .4.20. Конус катится по неподвижной плоскости без скольжения (рис. 439). Скорость центра основания конуса v_C = 0,9 м/с, радиус r = 30 см. Опре­делить модуль кинетического момента конуса относительно мгновенной оси вращения, если его момент инерции относительно этой оси равен 0,3 кг·м². (1,04)

Рис. 440 Рис. 441

3.4.21. В плоскости Оху (рис. 440) движутся мате-риальные точки M₁ и M₂, массы которых m₁ = m₂ = 1 кг. Определить кинетический момент дан­ной системы мате-риальных точек относительно точки О в положении, когда скорости v₁ = 2v₂ = 4 м/с, расстояния ОМ₁= 2ОМ₂ = = 4 м и углы a₁= α₂ = 30°. (6)

3.4.22. Материальные точки M₁, М₂, М₃, массы которых m₁ = m₂ = m₃ = 2 кг, движутся по окружности радиуса r = 0,5 м (рис. 441). Определить кинетический момент системы материальных точек относительно центра О окружности, если их скорости v₁= 2 м/с, v₂ = 4 м/с, v₃ = 6 м/с. (12)