3.7. Принцип даламбера

Если в каждой точке движущейся механической системы условно приложить соответствующую силу инерции, то в любой момент движения действующие на эту точку активные силы (внешние и внутренние), силы реакций связей (внешних и внутренних) и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Главный вектор сил инерции механической системы равен массе системы, умноженной на ускорение ее центра масс, и направлен в сторону, противоположную этому ускорению.

.

Главный момент сил инерции системы относительно точки О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.

.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, главный момент сил инерции равен

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси z, ε – угловое ускорение тела.

При использовании принципа Даламбера для реше-ния задач рекомендуется следующая последовательность дей­ствий:

1) изобразить механическую систему с приложенны­ми к ней активными силами и реакциями внешних связей;

2) показать на схеме ускорение тела, движение кото­рого задано или ищется, и в зависимости от его направ­ления показать ускорения (линейные и угловые) всех остальных тел системы;

3) приложить ко всем телам системы главные векто­ры и главные моменты сил инерции, найти их значения, выразив определяющие их ускорения через заданное или искомое ускорение;

4) выбрать систему координат;

5) составить уравнения равновесия полученной си­стемы сил;

6) решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

Оси координат и точки, относительно которых берут-ся моменты сил, выбираются так, чтобы не подлежащие определению неизвестные силы не входили в уравнения равновесия. Если из составленных уравнений для нерас­члененной системы определить искомые величины не представляется возможным, то применяют метод расчле­нения системы на составные части. К каждой части при­кладываются активные силы (внешние и внутренние), реакции отброшенных внешних и внутренних связей и силы инерции. Составляются уравнения принципа Даламбера для каждой части, и в результате их совместно­го решения находятся искомые величины.

Пример 1. Груз М массой m₁, опускаясь вертикально вниз, приводит в движение барабан А массой m₂ с помощью гибкой не­растяжимой нити, перекинутой через блок О массой т₃, (рис. 511, а). Барабан катится без проскальзывания по наклонной плоскости, со­ставляющей угол α с горизонтом. Считая блок и барабан однород­ными круглыми дисками, найти ускорение тела А и натяжения левой и правой частей нити.

Решение. Изобразив на схеме нерасчлененной системы внешние силы ( ( ), а так­же главные векторы и главные моменты сил инерции входящих в систему тел ( ) получим плоскую систему сил, в три уравнения равновесия которой войдут пять неизвестных (Х_О, У_О, N, F_тр, Ф). Поэтому расчленим систему на три части (рис. 511, б) и применим к каждой из них принцип Даламбера.

Рис. 511

Главные векторы и главные моменты сил инерции тел системы равны

.

Составим уравнения равновесия вышеперечисленных сил для каждого тела:

для тела М Т₁ + Ф - Р = 0, откуда Т₁ = т₁(g - а);

для барабана A откуда

Т₂ = R^Ф+ G sin α + = m₂a + G sin α + m₂ a/2 = m₂ (3a/2 + g sin α),

для блока О откуда, подставив значения T₁ и T₂, окончательно получим,

или

.

Зная ускорение груза А, найдем натяжения нитей:

,

.

Задачи