3.4. Елементи теорії удару

Ударом називають особливий випадок руху системи матеріальних точок. Цей випадок відрізняється як кінематичними, так і динамічними особливостями.

Під час удару швидкості точок системи за досить малий проміжок часу, який називають тривалістю удару, набувають скінченних приростів.

Тривалість удару досить мала. Як відомо з дослідів і деяких теоретичних розробок, тривалість ударного контакту між твердими тілами з певними пружними властивостями дуже незначна і вимірюється тисячними або десятитисячними частинами секунди.

Тому в ряді випадків при дослідженні удару наближено вважають тривалість удару нескінченно малою. Очевидно, при цьому доводиться припускати, що швидкості точок системи під час удару є розривними функціями часу, оскільки ці швидкості набувають скінченних приростів за нескінченно малий проміжок часу.

Легко помітити, що при ударі можна знехтувати переміщеннями точок системи за проміжок часу, що дорівнює тривалості удару.

Дійсно, оскільки

,

то можна записати

, (3.189)

де – тривалість удару. Швидкість при ударі скінченна, тому згідно з теоремою про середнє значення знайдемо:

. (3.190)

Оскільки – мала величина, то членом можна знехтувати, тоді отримаємо:

, (3.191)

тобто

за проміжок часу , що дорівнює тривалості удару, радіуси-вектори точок системи не змінюються.

Розглянемо динамічні особливості удару. Через те, що швидкості точок системи за проміжок часу, що дорівнює тривалості удару, набувають скінченних приростів, за той же проміжок часу скінчений приріст отримає і кількість руху системи. Отже, на підставі теореми імпульсів можна стверджувати, що при ударі на точки системи діють певні додаткові сили, які за малий проміжок часу, що дорівнює тривалості удару, розвивають скінченні імпульси. Сили з такими властивостями, тобто сили, що розвивають за малий проміжок часу скінченні імпульси, називають ударними або миттєвими.

У теорії удару приймають до уваги тільки дію миттєвих сил, тому що імпульси цих сил за час тривалості удару скінченні. Сили звичайної природи в теорії удару не враховуються, тому що їх імпульсами за час тривалості удару можна знехтувати:

. (3.192)

Оскільки ударні сили надто великі, а тривалість їхньої дії надто мала, то вимірювати ці сили звичними засобами незручно. Тому в теорії удару розглядають не самі сили, а їхні імпульси. Якщо треба скласти будь-яке рівняння, до якого мають входити ударні сили, то перетворити це рівняння треба так, щоб в нього входили не самі ударні сили, а їхні імпульси.

У теорії удару доводиться відмовлятись від вивчення руху тільки абсолютно твердих тіл. Досить прості приклади показують, що неможливо створити повну теорію співудару абсолютно твердих тіл, тому що така теорія не змогла б відповісти на цілий ряд запитань.

Щоб переконатись у цьому, наведемо такий приклад. Розглянемо нерухому перепону (рис. 3.48), яку можна вважати тілом нескінченно великої маси. Припустимо, що об цю перепону ударяється кулька, що рухалась до співудару поступально (тому можна говорити не про кульку, а про матеріальну точку). Припустимо, що відома маса кульки і швидкість її центра інерції в момент стикання її з перепоною, перпендикулярною до .

Визначимо швидкість, з якою кулька відскочить від стінки.

Явище удару залежить від деформації як кульки, так і перепони.

Можна розглянути наступні етапи процесу удару. Спочатку деформація нерухомої перепони і кульки зростає, а швидкість центра інерції кульки спадає. Потім наступає такий момент, коли швидкість центра інерції кульки стає нульовою, а деформація перепони і кульки досягає найбільшої величини.

Проміжок часу від початку удару до моменту, коли швидкість кульки зменшується до нуля, називають першим етапом удару.

Потім наступає другий етап: деформація кульки і перепони спадає, а швидкість центра інерції кульки зростає. Другий етап закінчується тоді, коли кулька відділиться від стінки, тобто коли спад деформації припиняється, а швидкість центра інерції досягає величини .

Очевидно, визначити величину швидкості на підставі теорем теоретичної механіки неможливо. Ці теореми застосовують або до окремої матеріальної точки, або до абсолютно твердого тіла; в цьому ж випадку ми маємо деформоване тіло.

І.Ньютон на підставі дослідів встановив, що

відношення абсолютної величини швидкості центра інерції кульки після удару до абсолютної величини швидкості центра інерції кульки до удару не залежить від величин швидкостей і , а залежить від пружних властивостей речовини кульки і перепони.

Величину цього відношення Ньютон назвав коефіцієнтом поновлення :

. (3.193)

Така назва пояснюється тим, що величина визначає ту частину швидкості центра інерції кульки, яка поновлюється після удару. Тут можуть бути два граничні випадки.

В першому граничному випадку може статися, що величина швидкості центру інерції кульки після удару дорівнює величині швидкості центру інерції кульки до удару. Це можливо тоді, коли процеси деформації перепони і кульки абсолютно зворотні, тобто коли деформації контактуючих тіл повністю зникають протягом другого етапу удару. В цьому випадку говорять про абсолютно пружний удар і в цьому випадку коефіцієнт поновлення

= 1.

Другий граничний випадок буде тоді, коли речовина кульки і стінки ідеально пластичні. В цьому випадку другий етап удару взагалі не існує і швидкість центра інерції після удару дорівнює нулеві. У цьому разі говорять про ідеально пластичний удар; коефіцієнт поновлення тоді визначається так:

= 0.

Очевидно, всі інші випадки, що зустрічаються на практиці, знаходяться десь між цими двома граничними; отже, величина

. (3.194)

Знак рівності відповідає розглянутим вище двом граничним випадкам удару.

Д

Рисунок 3.48

ослідження показали, що коефіцієнт поновлення залежить від швидкості співудару, але в теоретичній механіці цією обставиною нехтують.

Поняття про коефіцієнт поновлення можна узагальнити. Якщо в (3.193) розглядати не модулі швидкостей і , а їхні проекції на напрям (рис. 3.48), то

, (3.195)

знак мінус показує, що напрям швидкості центра інерції змінюється після удару.

Подальше узагальнення коефіцієнта поновлення можна отримати, припустивши, що стінка-перепона рухається з певною швидкістю в напрямку (рис. 3.49). В цьому разі деформація кульки і стінки залежить, очевидно, від відносної швидкості кульки відносно стінки, тому коефіцієнт поновлення можна отримати у вигляді:

. (3.196)

Рисунок 3.49

Це співвідношення узагальнює рівність (3.195).

Розглянемо косий удар кульки по нерухомій перепоні. Припустимо, є площина, на яку під певним кутом падає куля, що рухалась поступально (рис. 3.50). Нехай в момент удару швидкість кулі складала з напрямом нормалі кут .

Рисунок 3.50

Кут називають кутом падіння.

Для спрощення дослідження явища косого удару припустимо, що площина абсолютно гладенька.

Розкладемо швидкість на складові і (рис. 3.50).

Оскільки площина гладенька, то складова швидкості не зміниться, а складова зміниться, перетворившись на складову . Отже, повна швидкість кулі після удару буде визначатись рівністю

. (3.197)

Швидкість буде складати кут з нормаллю до площини.

Кут називають кутом відбиття.

Між коефіцієнтом поновлення і кутами падіння і відбиття існує залежність. Щоб її встановити, зауважимо, що

. (3.198)

Але, як видно з рисунка, ,

, ,

тому

. (3.199)

Залежність (3.199) дозволяє знаходити будь-яку невідому з величин і , якщо відомі дві інші величини. Якщо = 1, то , тобто у випадку абсолютно пружного удару кут падіння дорівнює кутові відбиття.