Приклади

Приклад 3.13. Дві однакових пружних кулі А і В рухаються назустріч одна одній. При якому співвідношенні між швидкостями до удару куля А після удару зупиниться. Коефіцієнт поновлення при ударі дорівнює .

Розв’язання.

Розглянемо рух матеріальної системи, що складається з двох однакових куль, тобто . При прямому центральному ударі двох куль застосовують закон збереження кількості руху за час удару. Приймаючи до уваги напрями векторів і – швидкостей до удару, дістанемо (рис. 3.53)

(3.224)

Друге рівняння знайдемо з (3.202), яке для даного випадку має вигляд:

Рисунок 3.53

. (3.225)

Оскільки , то з (3.225) знаходимо

.

Підставляючи це значення в (3.224), дістанемо

і далі

,

звідки

.

Приклад 3.14. Балістичний маятник, який застосовують для визначення швидкості снаряда, складається з циліндра АВ (рис. 3.54), підвішеного на горизонтальній осі . Циліндр відкритий з кінця А і наповнений піском; снаряд, влітаючи в циліндр, спричиняє обертання маятника навколо осі О на певний кут .

Рисунок 3.54

Дано: – маса маятника; – відстань його центра ваги С від осі О; – радіус інерції маятника відносно осі О; – маса снаряда; – відстань від лінії дії ударного імпульсу до осі.

Визначити швидкість снаряда, припускаючи, що вісь маятника О не зазнає удару, тобто (формула 3.223).

Розв’язання.

Припустимо, що перший етап удару починається з моменту дотику снаряда, що рухався з швидкістю , і нерухомого маятника. Другий етап удару закінчується тоді, коли маятник разом зі снарядом, що знаходиться в точці , дістане певну кутову швидкість .

Коефіцієнт поновлення в цьому випадку дорівнює нулеві, тому що швидкість снаряда відносно маятника після удару дорівнює нулеві.

Оскільки маятник здійснює обертальний рух, то застосуємо замість закону збереження за час удару кількості руху системи закон збереження кінетичного моменту. Система складається з точки М (снаряда) і маятника. Її кінетичний момент (відносно осі перпендикулярної до рисунка) дорівнює сумі , де перший доданок визначає кінетичний момент маятника, а другий – снаряда.

На першому етапі удару , тобто

.

На другому етапі , де – момент інерції системи відносно осі , а – кутова швидкість, отримана за час удару. На підставі закону збереження маємо

. (3.226)

Для визначення розглянемо обертальний рух маятника разом зі снарядом навколо осі до моменту, коли він повернувся на кут і зупинився. Застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії системи:

. (3.227)

Тут , оскільки повернувшись на кут , маятник зупиниться

.

Робота сил, прикладених до цієї системи, складається з роботи сил ваги маятника і снаряда і роботи реакції шарніра О; ( дорівнює нулеві, оскільки сила прикладена в нерухомій точці О). Визначимо роботу сили ваги маятника:

,

де .

Тут – центр ваги маятника в положенні стійкої рівноваги, а С – у відхиленому положенні (рис. 3.55)

– (3.228)

робота від’ємна, оскільки точка С піднімається.

Аналогічно обчислимо роботу сили ваги снаряда, прикладеної спочатку в точці :

. (3.229)

Тоді з (3.228) і (3.229)

.

Підставляємо цей вираз в (3.227)

Рисунок 3.55

і знаходимо :

.

Після підстановки в (3.226) дістанемо

;

оскільки , то і, перетво- ривши , отримаємо остаточно

.

* Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с англ. А.Н.Крылова // Собрание трудов. – М.: Изд-во АН СССР, 1936. – Т. VІІ.