Співудар двох куль

Припустимо, є дві кулі, що рухаються поступально в одному напрямку (рис. 3.51). Нехай маси куль і ; швидкості куль до удару позначимо відповідно і . Щоб удар відбувся, очевидно, має виконуватись співвідношення:

(3.200)

Рисунок 3.51

В певний момент відбувається прямий центральний удар, і швидкості центрів інерції куль набувають нових значень і відповідно.

Щоб визначити величини цих швидкостей, потрібно, очевидно, скласти два рівняння. Одне з рівнянь можна скласти на підставі теореми про зміну кількості руху системи.

У розглянутому випадку система складається з двох куль, що рухаються поступально. Зовнішніми силами, що діють на цю систему, є немиттєві сили (сили ваги, тертя тощо), які при дослідженні явища удару не приймаються до уваги, тому що протягом удару вони не розвивають скінченних імпульсів. Крім немиттєвих сил при співударі куль виникають ударні сили, але змінити кількість руху системи вони не можуть, тому що вони є внутрішніми силами для системи, що складається з двох куль. Тому

кількість руху системи за час удару не зміниться. Отже, в проекції на вісь маємо:

(3.201)

При дослідженні удару кулі об нерухому перепону умова, аналогічна (3.201) є непотрібною. Дійсно, якщо нерухому перепону розглядати як кулю нескінчено великої маси , то, розділивши таку умову на , отримаємо тривіальне твердження, що швидкість цієї перепони до і після удару одна і та ж.

Друге рівняння складемо на підставі умови (3.196), розглядаючи другу кулю як певне узагальнення рухомої перепони. На основі цього співвідношення можемо написати

або

. (3.202)

Рівняння (3.201) і (3.202) є системою двох рівнянь, з якої легко можуть бути визначені невідомі і .

Ми розглядали кулі, що рухаються поступально, тобто ми розглядали рух матеріальних точок, маси яких дорівнюють масам куль. У дійсності ми спостерігаємо співудар не точок, а фізичних тіл. Але, як показав М.Є.Жуковський [ 2 ], дослідження співудару тіл скінченних розмірів можна звести до розгляду задачі співудару куль, маси яких визначаються особливим, вказаним М.Є.Жуковським, способом.

Теорема Остроградського-Карно (про зміну кінетичної енергії при ударі)

Частинний випадок теореми про зміну кінетичної енергії при ударі знайшов французький математик Лазар Карно. Він довів теорему, припускаючи, що коефіцієнт поновлення дорівнює нулеві.

Після Карно цю теорему розглядав М.В.Остроградський, який вперше поширив на теорію удару методи аналітичної механіки. За М.В.Остроградським явище удару слід розглядати як результат накладання на систему нестаціонарних в’язей, що швидко змінюються в часі.

Щоб сформулювати теорему Остроградського-Карно про втрату кінетичної енергії при ударі, запровадимо поняття про так звані втрачені швидкості при ударі.

Під втраченими швидкостями при ударі будемо розуміти різницю швидкостей тіла після удару і до удару. Так,

– втрачена швидкість першої кулі;

– втрачена швидкість другої кулі.

Теорема Остроградського-Карно твердить:

втрата кінетичної енергії при ударі дорівнює кінетичній енергії втрачених швидкостей, помноженій на коефіцієнт

,

де – коефіцієнт поновлення.

Доведення цієї теореми наведемо для випадку прямого центрального удару двох куль. Розглянемо кінетичну енергію системи двох куль до удару:

. (3.203)

Кінетична енергія системи двох куль після удару

. (3.204)

Отже, приріст кінетичної енергії куль за час удару

. (3.205)

Підставляючи значення і в (3.205) і зробивши елементарні перетворення, отримаємо:

.(3.206)

Різниці швидкостей в круглих дужках – це втрачені швидкості. Щоб довести теорему, маємо показати, що суми в круглих дужках якимось чином визначаються через втрачені швидкості. При цьому, очевидно, треба посилатись на основні залежності між швидкостями куль до і після удару.

Наведений нижче спосіб перетворення належить проф. М.О.Кільчевському.

Будемо діяти так. Відомо, що будь-яке число можна зобразити як добуток двох чисел плюс якийсь залишок. Тому суми в круглих дужках запишемо таким чином:

(3.207)

де коефіцієнт і залишки і є невизначені сталі. Підберемо , і так, щоб рівності (3.207) були еквівалентними основним співвідношенням теорії удару. Віднімаючи від другої рівності (3.207) першу, дістанемо

.

Розв’яжемо отриману рівність відносно :

. (3.208)

Порівняємо співвідношення (3.208) і (3.202). Щоб ці співвідношення були тотожними, необхідно покласти:

.

Отже,

. (3.209)

Оскільки змінюється в межах

,

то буде змінюватись в межах

, (3.210)

тобто коефіцієнт завжди від’ємний.

Підставляючи значення в (3.207), дістанемо:

,

(3.211)

.

Ці рівності задовольняють співвідношення (3.202). Щоб вони задовольняли також співвідношення (3.201), слід скористатись довільністю величини , тобто підібрати так, щоб рівність (3.211) задовольняла співвідношення (3.201).

Беручи до уваги (3.211), з (3.206) дістанемо:

.

На підставі співвідношення (3.201) робимо висновок, що вираз в других фігурних дужках дорівнює нулеві. Тому

. (3.212)

Рівність (3.212) і визначає теорему Остроградського-Карно.

Коефіцієнт , тобто приріст , отже,

при ударі відбувається втрата кінетичної енергії. При абсолютно пружному ударі кінетична енергія не змінюється, тому що при

.

При ідеально пластичному ударі , отже, тобто в цьому разі втрата кінетичної енергії дорівнює всій кінетичній енергії втрачених швидкостей.

Цей результат отримав Л.Карно, а узагальнення цього результату запропонував М.В.Остроградський.

Насправді величина втраченої кінетичної енергії знаходиться поміж двома вказаними граничними значеннями.

При доведенні цієї теореми ми розглядали прямий центральний удар двох куль. Однак теорема Остроградського-Карно поширюється на випадок будь-якого удару і будь-яких систем. Наприклад, її можна поширити на випадок косого удару. Дійсно, якщо поверхня куль абсолютно гладка, то дотична складова швидкостей куль не зміниться при ударі. Отже,

приріст енергії при ударі буде залежати тільки від нормальних складових швидкостей куль, для яких і має місце теорема Остроградського-Карно.

М.Є.Жуковський показав, що задачу про співудар тіл довільної форми, які не мають аналітичних особливостей в точках контакту, можна звести до задачі про співудар куль. Тому результати, отримані при вивченні руху двох куль, в тому числі і теорема Остроградського-Карно, є досить загальними.

Теорема Остроградського-Карно має також практичне значення. Вона застосовується в розрахунках на міцність в машинобудуванні, зокрема, при розрахунках ударних машин (парових або гідравлічних молотів тощо).

Оскільки для всіх ударних машин основним є створення пластичної деформації, то цілком очевидно, що матеріал конструкції має бути таким, щоб коефіцієнт поновлення був як найменшим, тому що при цьому втрата кінетичної енергії на різні необхідні форми деформації оброблюваної деталі буде відносно більшою. Найбільший коефіцієнт корисної дії матиме молот, який створює пластичний удар з коефіцієнтом поновлення, що дорівнює нулеві.