2.2.8. План швидкостей

Розглянемо графічний метод визначення швидкостей різних точок плоскої фігури. Це метод побудови плану швидкостей.

Визначимо швидкості всіх точок фігури (рис. 2.31), якщо відомі вектор швидкості точки А і те, що вектор напрямлений вздовж прямої (рис. 2.31, а).

а	б
Рисунок 2.31

Скористаємося формулами (2.73) і (2.74). Насамперед визначимо швидкість точки В, траєкторія якої відома. Виберемо полюс у точці А. Тоді

.

Побудуємо цю векторну рівність. Вектор відомий цілком, а вектор спрямований вздовж , яка є дотичною в точці В до її траєкторії. Виберемо масштаб і побудуємо трикутник за відомими сторонами , паралельного і – перпендикулярною до АВ (рис. 2.31, б). Дістаємо

.

Щоб визначити швидкість довільної точки С, з’єднаємо її з точками А та В. Виберемо полюс по черзі в точках А та В.

Маємо

;

.

Швидкість точки С невідома; швидкості точок А та В повністю відомі; вектори і перпендикулярні до АС і ВС відповідно. Розв’язуємо графічно систему векторних рівнянь. На плані швидкостей через точки а і проводимо прямі, паралельні швидкостям і (відповідно перпендикулярні до прямих АС і ВС): . На перетині прямих і знаходимо точку с – кінець вектора . З’єднаємо точку С з точкою Р. Швидкість точки С побудована ( ).

Як видно з побудови, на плані швидкостей подібний до плоскої фігури і повернутий відносно нього на кут .

Тепер легко знайти швидкість будь-якої точки плоскої фігури. Наприклад, щоб знайти швидкість точки М, яка знаходиться на прямій АВ (рис. 2.31, б) визначимо відповідну їй точку на плані швидкостей, з’єднаємо цю точку з полюсом Р. Відрізок – швидкість точки М.

Положення точки на плані швидкостей зручно визначати так: відрізки на плані швидкостей є швидкостями обертального руху . Відомо, що . Тому для визначення положення точки маємо співвідношення

.

Із плану швидкостей можна визначити також миттєву кутову швидкість.

.

2.2.9. Розподіл прискорень точок при

плоскопаралельному русі

Прискорення довільної точки тіла при плоскопаралельному русі можна знайти з виразу (2.65):

. (2.76)

Як зазначалось, вектори і перпендикулярні до площини руху фігури, тому на підставі властивостей подвійного векторного добутку перепишемо третій доданок у правій частині (2.76):

,

оскільки .

Отже,

, (2.77)

де – прискорення полюса ; – обертальне прискорення; – доцентрове прискорення (рис. 2.32).

Рисунок 2.32

Векторна сума обертального і доцентрового прискорення є прискоренням обертального руху точки плоскої фігури навколо полюса:

;

; (2.78)

.

Формулу (2.77) можна записати у вигляді

. (2.79)

Отже,

прискорення довільної точки тіла при плоскопара-лельному русі дорівнює векторній сумі прискорення полюса і прискорення обертального руху точки навколо полюса.

З’ясуємо деякі властивості прискорення обертального руху плоскої фігури навколо полюса. Розглянемо кут між вектором і вектором .

Цей кут завжди гострий, бо в противному разі доцентрове прискорення було б напрямлене від полюса, що неможливо.

Величину цього кута знайдемо з формули

. (2.80)

З формули (2.80) видно, що кут не залежить від вибору полюса і є однаковим для всіх точок тіла в даний момент часу. Цей кут відліковується від до (рис. 2.33) у напрямі обертання плоскої фігури, якщо і мають один напрям, і протилежно обертанню, якщо напрями і – різні.

Нарешті, модуль вектора

. (2.81)

Рисунок 2.33