2.2.13. Теорема Ейлера. Кути Ейлера. Рівняння руху твердого тіла з нерухомою точкою

Визначимо закон руху тіла навколо нерухомої точки. Зв’яжемо незмінно з тілом систему координат (рис. 2.43) з початком у нерухомій точці О. Положення цієї системи визначатимемо відносно нерухомої системи координат з початком у тій самій точці О.

Рисунок 2.43

Припустимо, що в початковий момент часу осі цих систем координат збігаються. Положення системи однозначно визначає положення тіла. Доведемо теорему про переміщення тіла, що має нерухому точку.

Теорема Ейлера. Довільне переміщення тіла навколо нерухомої точки можна здійснити трьома послідовними поворотами тіла навколо трьох особливим способом вибраних осей, що проходять через нерухому точку.

Перший поворот на кут здійснюємо навколо осі . Вісь займає проміжне положення . Другий поворот на кут здійснюємо навколо осі , яку називають лінією вузлів. Після цього повороту площина суміститься із своїм кінцевим положенням, а осі і займуть проміжні положення, а вісь – кінцеве. Третій поворот робимо навколо цієї осі на кут . Рухома система координат займає кінцеве положення.

Кути поворотів і (кути Ейлера) визначають положення тіла: – кут прецесії; – кут нутації; – кут власного обертання.

Кожному моменту часу відповідають певні значення кутів Ейлера. Отже, кути Ейлера є функціями часу:

. (2.85)

Ці рівняння називають рівняннями руху тіла навколо нерухомої точки.

З доведеної леми (підрозд. 2.2.11) можна зробити логічний висновок: миттєва кутова швидкість тіла, що рухається навколо нерухомої точки, дорівнює векторній сумі кутових швидкостей прецесії нутації і власного обертання :

.

Модуль вектора можна знайти, якщо визначити його проекції на осі ортогональної (рухомої або нерухомої) системи координат. Проекції вектора на осі координат визначаються кінематичними формулами Ейлера [ 1 ].

Розкладемо вектор по одиничних координатних векторах осей (рис. 2.43). Матимемо

. (2.86)

Знайдемо проекції кутової швидкості на осі рухомої системи координат , одиничні координатні вектори якої позначимо .

Тоді матимемо

(2.87)

Зауважимо, що

.

Далі знаходимо

;

;

.

Підставляємо ці вирази у (2.87), тоді маємо

(2.88)

Так само можна знайти проекції на осі системи , орти яких позначимо . Дістаємо

Знаходимо:

.

На цій підставі маємо

(2.89)

Формули (2.88) і (2.89) називають кінематичними формулами Ейлера.

Якщо проекції на осі координат знайдено, то модуль кутового прискорення можна визначити так:

.

Вектор кутового прискорення напрямлений по дотичній до годографа вектора кутової швидкості .

Зауважимо, що на практиці часто зустрічається випадок руху тіла навколо нерухомої точки, коли кутові швидкості прецесії і власного обертання – сталі, і, як наслідок, кут нутації залишається незмінним. Цей випадок руху тіла навколо нерухомої точки називають регулярною прецесією.