2.2.7. Розподіл швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі

Розглянемо плоскопаралельний рух тіла як окремий випадок руху вільного твердого тіла, скориставшись співвідношенням (2.64). Позначимо другий доданок у правій частині цього виразу

, (2.73)

де — швидкість обертального руху точки М плоскої фігури навколо полюса О. Тоді маємо (рис. 2.25)

. (2.74)

Цей вираз є законом розподілу швидкостей у тілі при плоскопаралельному русі.

Рисунок 2.25

Зауважимо, що вектор перпендикулярний до вектора .

Таким чином,

швидкість довільної точки плоскої фігури дорівнює векторній сумі швидкостей полюса і обертального руху точки навколо полюса.

Із (2.74) можна зробити висновок, що в кожний момент часу існує точка, швидкість якої дорівнює нулеві, тобто . Цю точку Р, швидкість якої дорівнює нулеві, називають миттєвим центром швидкостей.

Якщо полюс вибрати в миттєвому центрі швидкостей, то на підставі (2.74)

.

Отже,

швидкості точок плоскої фігури можна розглядати як швидкості її обертального руху навколо миттєвого центра швидкостей.

Тому миттєвий центр швидкостей називають ще миттєвим центром обертання.

Розглянемо побудову миттєвого центра швидкостей. Для цього існує кілька способів.

Спосіб 1. Якщо відома швидкість певної точки О фігури і миттєва кутова швидкість , то миттєвий центр Р швидкостей (рис. 2.26) знайдемо на прямій ОР, перпендикулярній до . Дійсно, виберемо Р за полюс і знайдемо швидкість точки О:

;

і .

Рисунок 2.26

Звідси

.

Миттєвий центр швидкостей лежить на прямій РО, перпендикулярній до вектора на відстані . Відрізок РО відкладається від точки О у напрямі обертання тіла.

Спосіб 2. Нехай відомі прямі, уздовж яких напрямлені швидкості двох точок А і В плоскої фігури (рис. 2.27), і відома швидкість точки . Розглянемо швидкості і як швидкості обертального руху навколо миттєвого центра обертання Р. Ці швидкості мають бути перпендикулярні до радіусів обертання РА і РВ. Отже, проводимо і . У точці їх перетину знаходиться миттєвий центр Р швидкостей. Знаючи швидкість точки А, знаходимо напрям і величину миттєвої кутової швидкості , а також лінійну швидкість довільної точки С плоскої фігури. Для цього досить з’єднати точку С з миттєвим центром швидкостей і провести перпендикуляр до СР. Напрям швидкості знаходимо згідно з напрямом обертання плоскої фігури навколо Р – миттєвого центра швидкостей. Модулі векторів швидкостей обчислюємо з пропорції

. (2.75)

Рисунок 2.27

Спосіб 3. Існує ще кілька окремих випадків визначення миттєвого центра швидкостей:

а) швидкості двох точок тіла паралельні, неоднакові і мають один напрям (рис. 2.28, а);

б) швидкості двох точок тіла паралельні, неоднакові і мають різні напрями (рис. 2.28, б);

а	б
Рисунок 2.28

в) швидкості двох точок тіла паралельні, однакові, напрямлені в один бік (рис. 2.29). У цьому разі миттєва кутова швидкість і тіло в цей момент часу виконує миттєвий поступальний рух;

г) у деяких випадках можна знайти положення миттєвого центра швидкостей з умови кочення без ковзання:

миттєвий центр знаходиться в точці дотику тіла з нерухомою поверхнею (рис. 2.30).

Зауважимо, що під час руху тіла положення миттєвого центра швидкостей змінюється.

Геометричне місце миттєвих центрів швидкостей, віднесене до рухомої або нерухомої системи координат, називають відповідно рухомою або нерухомою центроїдою.

Рисунок 2.29	Рисунок 2.30

З цією геометричною інтерпретацією плоскопаралельного руху пов’язана теорема Пуансо:

під час руху плоскої фігури рухома центроїда котиться по нерухомій без ковзання.

Це окремий випадок більш загальної теореми Пуансо, яку розглянемо, вивчаючи обертання твердого тіла навколо нерухомої точки.

Нарешті зауважимо, що плоскопаралельний рух розглядали як окремий випадок руху вільного твердого тіла. Отже, для цього випадку також справедлива доведена теорема про проекції двох точок тіла на пряму, що проходить через ці точки.