2.2.11. Додавання обертальних рухів тіла навколо осей, що перетинаються

Розглянемо додавання двох миттєвих обертальних рухів твердого тіла навколо осей, що перетинаються.

Припустимо, що тіло обертається навколо осі з миттєвою кутовою швидкістю , а разом з віссю обертається навколо осі з миттєвою кутовою швидкістю (рис. 2.41). Також припускаємо, що дві вказані осі перетинаються в точці .

Доведемо лему про додавання кутових швидкостей.

В результаті додавання двох миттєвих обертальних рухів тіла навколо осей, що перетинаються, результуючим є абсолютний миттєвий обертальний рух навколо осі, яка проходить через точку перетину осей складових обертань.

Абсолютна миттєва кутова швидкість дорівнює векторній сумі кутових швидкостей складових обертань.

Рисунок 2.41

 Точка перетину осей і в даний момент часу має абсолютну швидкість, що дорівнює нулеві. Отже абсолютний рух зводиться до обертання навколо миттєвої осі, яка проходить через точку . Щоб визначити положення миттєвої осі, треба крім точки знайти ще одну точку, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулеві. Для цього побудуємо на відрізках, що зображають і , паралелограм і доведемо, що швидкість точки тіла, що збігається з вершиною , дорівнює нулеві. Застосуємо теорему про додавання швидкостей

.

На підставі формули Ейлера , тут – радіус обертання точки навколо осі , ця швидкість напрямлена перпендикулярно до площини паралелограма (позначимо її ) від спостерігача і за величиною дорівнює площі паралелограма .

Аналогічно , . Ця швидкість перпендикулярна площині паралелограма і напрямлена до спостерігача.

Отже, . Миттєва вісь обертання проходить через точку , тобто має напрям, який збігається з напрямом діагоналі паралелограма .

Таким чином, доведено, що в результаті додавання двох миттєвих обертальних рухів навколо осей, що перетинаються, виникає миттєвий обертальний рух.

Знайдемо тепер величину абсолютної кутової швидкості цього обертального руху.

Розглянемо точку , яка належить осі відносного обертання тіла.

.

Напрям швидкості точки вказує, що миттєва кутова швидкість напрямлена вздовж прямої від точки до . Далі обчислимо як величину швидкості обертального руху навколо миттєвої осі . Знаходимо

.

Отже,

.

Таким чином, встановлено, що миттєва кутова швидкість визначається як діагональ паралелограма, побудованого на відрізках, що зображують кутові швидкості і . Отже, маємо, що

. 

Теорема про додавання кутових швидкостей поширюється на випадок додавання довільної кількості обертань тіла навколо осей, що перетинаються.

Абсолютна миттєва кутова швидкість руху, який виникає внаслідок додавання кількох обертань, дорівнює векторній сумі кутових швидкостей складових рухів

.

2.2.12 Рух твердого тіла навколо нерухомої точки.

Аксоїди. Теорема Пуансо

Рух тіла, що має нерухому точку, можна розглядати як окремий випадок руху вільного твердого тіла.

Виберемо полюс у нерухомій точці (рис. 2.42), швидкість і прискорення якої:

; .

На підставі (2.64) і (2.65) дістанемо

; (2.83)

; (2.84)

В

Рисунок 2.42

ирази (2.83) і (2.84) визначають закони розподілу швидкостей і прискорень у тілі з нерухомою точкою.

Із формули (2.83) можна зробити висновок, що розподіл швидкостей у тілі з нерухомою точкою в кожний момент часу збігається з розподілом швидкостей у тілі, що обертається навколо осі, напрям якої визначається вектором . Ця вісь не залишається нерухомою, а під час руху тіла змінює положення в просторі згідно із законом руху тіла, тому її називають миттєвою віссю обертання. Кутову швидкість називають миттєвою кутовою швидкістю. Аналогічно – миттєвим кутовим прискоренням.

Таким чином,

у кожний момент часу розподіл швидкостей у тілі з нерухомою точкою такий, ніби воно обертається навколо миттєвої осі обертання.

Розподіл прискорень відрізняється від розподілу прискорень у тілі, що обертається навколо нерухомої осі. Тому

рух тіла з нерухомою точкою називають миттєвим обертальним рухом.

Під час руху тіла миттєва вісь обертання описує в просторі дві конічні поверхні.

Геометричне місце миттєвих осей обертання, віднесене до нерухомої системи координат, називають нерухомим аксоїдом.

Геометричне місце миттєвих осей обертання, віднесене до рухомої системи координат, незмінно зв’язаної з тілом, називають рухомим аксоїдом.

Вершини аксоїдів збігаються з нерухомою точкою і в кожний момент часу мають спільну твірну, яка в цей момент є миттєвою віссю обертання.

Теорема Пуансо. При русі тіла навколо нерухомої точки рухомий аксоїд котиться по нерухомому без ковзання.

Коченням без ковзання називають рух двох тіл, що задовольняє двом умовам:

Умова 1. Геометричні поверхні тіл дотикаються в спільних точках;

Умова 2. Швидкості спільних точок обох тіл відносно нерухомої системи координат однакові.

Справді, спільні точки поверхонь аксоїдів лежать на миттєвій осі обертання. Отже, швидкості точок рухомого аксоїда, що збігаються з точками нерухомого аксоїда, дорівнюють нулеві.

Щоб переконатися у виконанні першої умови, треба скористатися властивостями кривих, що дотикаються [ 7 ].

Застосування теореми Пуансо можна розглядати як один із засобів синтезу механізмів, завдання якого полягає в побудові механізму, що здійснює заданий рух.

Щоб здійснити рух тіла навколо нерухомої точки, слід побудувати рухомий і нерухомий аксоїди, з’єднати їх уздовж спільної твірної і котити без ковзання рухомий аксоїд по нерухомому.