- •2.1.2. Способи визначення руху точки
- •2.1.3. Годограф векторної функції
- •2.1.4. Швидкість руху точки
- •2.1.5. Прискорення руху точки
- •Приклади
- •2.2. Кінематика абсолютно твердого тіла
- •2.2.1. Основні положення
- •2.2.2. Поступальний рух твердого тіла
- •2.2.3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
- •Координати точки м і орт не залежать від часу; орти , є функціями часу. Отже,
- •Приклади
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Запитання для самоконтролю
- •2.2.6. Плоскопаралельний рух твердого тіла. Рівняння руху
- •2.2.7. Розподіл швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі
- •2.2.8. План швидкостей
- •2.2.10. Миттєвий центр прискорень
- •Приклади
- •2.2.11. Додавання обертальних рухів тіла навколо осей, що перетинаються
- •Аксоїди. Теорема Пуансо
- •2.2.13. Теорема Ейлера. Кути Ейлера. Рівняння руху твердого тіла з нерухомою точкою
- •2.2.14. Розподіл швидкостей і прискорень точок тіла з нерухомою точкою
- •2.4. Складний рух твердого тіла
- •2.4.1. Додавання поступальних рухів тіла
- •2.4.2. Пара обертань
- •2.4.3. Додавання обертань тіла навколо паралельних осей
- •2.4.4. Додавання поступального і обертального рухів тіла
- •2.4.5. Метод “зупинки” (метод Вілліса)
2.2.14. Розподіл швидкостей і прискорень точок тіла з нерухомою точкою
За формулою (2.83) визначають швидкість довільної точки тіла:
. (2.90)
Початок нерухомої системи координат збігається з нерухомою точкою. Проектуючи ліву і праву частини рівності (2.90) на осі , визначимо проекції швидкості точки М на ці осі:
;
(2.91)
.
Прискорення довільної точки М визначається за (2.84)
.
Цей вираз можна переписати інакше:
. (2.92)
Перший доданок у (2.92) називають обертальним прискоренням, другий — доосьовим
. (2.93)
Напрями прискорень і повністю визначаються за (2.93). З виразу доосьового прискорення видно, що
вектор лежить у тій площині, в якій лежать вектори і , і напрямлений по перпендикуляру до вектора (рис. 2.44), тобто по перпендикуляру до миттєвої осі обертання.
Модулі складових обертального і доосьового прискорень точки можна визначити за формулами:
; (2.94)
. (2.95)
Рисунок 2.44
Приклад 2.7. Конус з висотою 4 м і радіусом основи 3 см котиться по площині без ковзання, маючи нерухому вершину в точці О (рис. 2.45).
Визначити кутову швидкість , кутове прискорення конуса, а також швидкість і прискорення його точок і , якщо швидкість центра основи конуса см/с = const.
Рисунок 2.45
Розв’язання. На підставі теореми Пуансо твердимо, що бічна поверхня конуса є рухомим аксоїдом, а площина – нерухомим аксоїдом. Миттєва вісь обертання – твірна конуса . Вектор спрямований вздовж миттєвої осі обертання (рис. 2.45). Згідно формули Ейлера (2.54)
, .
Швидкість точки С спрямована протилежно осі .
Величину знаходимо з прямокутного трикутника :
см.
Отже,
рад/с.
Кут утворений осями: прецесії і власного обертання , є кутом нутації . Оскільки він залишається незмінним, має місце регулярна прецесія. Отже, кутова швидкість є сумою двох складових: кутової швидкості прецесії і кутової швидкості власного обертання :
.
Як видно з рис. 2.45, трикутник, утворений векторами , і , подібний до , сторони якого відомі: = 4 см, см, см. Елементарні геометричні міркування дають змогу знайти
рад/с; рад/с.
Кутове прискорення можна розглядати як швидкість точки , що викреслює годограф вектора кутової швидкості . Тому за формулою Ейлера
.
Вектор напрямлений по дотичній до годографа , тобто перпендикулярно до вектора . Модуль
рад/с2.
Швидкість точки дорівнює нулеві. Ця точка належить миттєвій осі обертання.
Швидкість точки конуса знаходимо як швидкість миттєвого обертання точки навколо миттєвої осі . За формулою Ейлера запишемо пропорцію
.
Оскільки , то см/с. Швидкість точки паралельна швидкості точки .
Прискорення точок А і В знайдемо за формулами:
Обчислимо кожний доданок і визначимо напрям.
Напрями доосьових прискорень знаходимо за правилом векторного добутку:
;
.
Як було зазначено, , тому .
Доосьове прискорення точки напрямлене вздовж миттєвого радіуса обертання точки до миттєвої осі .
Величина см/с2.
Обертальне прискорення ; .
Величина см/с2.
Оскільки , то см/с2.
Напрями і знаходимо за правилом векторного добутку. Ці прискорення знаходяться в площині трикутника і перпендикулярні і відповідно.
Отже, , см/с2.
Величину прискорення точки знаходимо за теоремою косинусів:
см/с2.