60 Изменение поля скаляров (компексификация и овеществление)

L над k  K возможно что это поле вложено в другое

Можно (??) от лин. пространства подполя перейти к лин. пр-ва большего (???)

L_k – лин пр-во над полем R

Можно ли перейти от L_R L_{C (}комплексификация, овеществление)

L_RL_C - комплексификация

L_CL_R – овеществление

1. Определение пр-ва

2. Базисы

3. Матрицы оператора

А) комплексификация

1. L_R- лин пр-ва  L_C перейдем над С разрешим над множеством (умножать как на число) раньше ветора умножали на вещ числа теперь можно умножать на компл числа

LL_C – пр-во над Сумножать на к.ч.

L={x} L_C={x+ay | x,yL,aC}

Что то из L+ объединены из L умноженые на к.ч.

Примеры:

1. P₂(R)={ax²+bx+c} его комплексификация это представление еденичного

[P₂(R)]_C={P+aQ|P₁QP₂(R),aC}

2. множество векторов

L=R₂=(a+bi=c=di, (a+biL,c+diL) тогда когда a=c,b=d)

[L]_C=[R₂]_C=L_C=

2)Базисы

L e1,..,en – базис можно построить базис L_С

Это базис и L_C лин независим над R и лин зависим над С

Надо доказать что он ЛНЗ и является системой обращающих, если они ЛЗ над С

a₁e₁+…+a_ne_n=0 разделим на вещественные и мнимые части

(b₁+ig₁)e₁+…+(b_n+ig_n)e_n=0

b₁e₁+…+b_ne_n+i(g₁e₁+…+g_ne_n)=0

|| ^== ЛНЗ над R

0 т.к. они ЛНЗ над R

b₁e₁+…+b_ne_n=0 b_k=g_k=0 для всех k

g₁e₁+…+g_ne_n=0

т.е. базис можно не менять

матрица оператора не применять

3. матрица оператора

A:LL A_C:L_CL_C

XL_C x=x₁+ix₂ (x₁,x₂L)

A_Cx=A_x1+iA_x2 (A_x1, A_x2L)

A_C при этой операции не изменится если сохраниться базис

2) овеществление

L – пр-во над С, мы хотим построить пр-во над вещ L_R

1. мн-во сохраняется, но мы запрещаем работу с к.ч.

все операции кроме, (???) c к.ч. RC

L и L_R одни и те же базисы

Пример:

1. L=P2(ax²+bx+c|a,b,cC)

В L x²+ix+2+i |

ix²+x+2i-1 | ЛЗ в L

но они ЛНЗ в L_R

т.к. в R – нет к.ч.

б) базисы

базис L_R e1,…,en – базис L

e1,e2,…,en,ie1,ie2,…,ien базис L_R

система образующих

xL_R x=a₁e₁+…+a_ne_n

^ C

x=(b₁+ig₁)e₁+…+(b_n+ig_n)e_{n =} b₁e₁+…+b_ne_n+i(g₁e₁+…+g_ne_n)

предположим что она ЛЗ

b1e1+…+bnen+ig1e1+…+ignen=0

^ ЛНЗ векторов над R

(b1+ig1)e1+…+(bn+ign)en=0

^ =0 ^=0

раз последняя скобка равна 0, то все bk=gk=0

в) матрица

L – над С dimL=1

e1 – базис L f1,f2

e1,ie1 – базис L_R

пусть A:LL

Ax= x (=a+bi)

рассмотрим овеществление в базисе L_R

A_R Af₁=Ae₁=e₁=(a+bi)e₁=ae₁+bie₁ ==> A_R – оператор тот же самый

Af2=Ae1=iAe1=i(a+bi)e1=aie1+be1=-bf1+af2=

Для пространств большей размерности при правильной нумерации элементов базиса матрица овеществления будет вымирать(???)

7⁰ Существование инвариантных под пр-в малых размерностей

Теорема: L – лин пр-во на R и есть A:LL, тогда сущ инвариантное под пр. размерностей не больше чем 2. Сущ ML

A(M)M

DimM<=2

Доказательство:

1. предположим что А имеет собственное число, тогда собственный вектор сущ e1 – с.в.

M=Z{e1} , тогда М инвариантно

A(M)M

2. предположим, что с.ч. нет корней у чарактерестического многочлена

X_A(t) в R, но комплексный корень есть но сущ л=a+bi

с.ч. A_C­ – с.ч. комплексификации, но мы знаем что матрицы (????)

xL_C x – с. вектор А_С A_Cx=лx

не сущ x=x1+ix2 (x1,x2L)

A_Cx=(a+bi)x=(a+bi)(x1+ix2)=ax1+ax2i+…+x1bi-bx2=(a+bi)x1+(ai-b)x2

A:LL (L над R)

А)

Б) нет с.ч. R AA_C:L_CL_C

A_C(x+iy)=Ax+iAy

Сущ л=+i – с.ч. A_C

x1,y1L x1+y1i – c. Вект. A_C

AC(x1+iy1)=л(x1+iy1)=(+i)(x1+iy1)=(x1-y1)+i(bx1+ay1)=Ax1+iAy1

^ L ^L

| Ax1=x1-y1

{ LZ{x1,y1}инвар относит А

|Ay1=x1+y1

Задача: построить матрицу сужения оператора А в опер С

Am:MM