Жорданов базис оператора с единственным собственным числом

А:LL₀ – c.ч.A

X_a()=(-_)ⁿ

Рассмотрим оператор B=(A-_E)

X_B(==X_A(+_) => X_B(0)=X_A(₀)=0 у него единственное собственное число.

1. X_B()=ⁿ(-1)ⁿ

2. e₁…e_n – жорданов базисB => A=B+E => в этом базисе матрица А:

А_e^e=J_B+E – жорданова матрица.

Построение жорданова базиса для оператора с различными собственными числами

Построим жорданов базис в каждом корневом пространстве.

1. ₁,…,_s – все различны

2. Для каждого  строимB₁=A-_E,…В_S=A-_SE

И для каждой строим жорданов базис пространства решений не станет равной кратности собственного числа.

Пример:

А=; X_A()==(2-)³(²-3+2)-5)=(2-)(+4)

B₁=A-2E=rang B₁=2 Dim B₁=3 Ker B₁=Z3 циклических

B₁²=A-2E=rang B₁²=1 Dim B₁²=4 Ker B₁²=Z

e₁=; e₂=B₁e₁=e₃=; e₄=

2) B₂=A+4E=e₅=

J=C_f^f=

Функции от матриц

Степени жордановой клетки

a) =0 J_n(0)=

J_n²(0)=; J_n³(0)= смещение 1 к низу

J_nⁿ(0)=0

б) J_n()=J_n(0)+E

J_n^k()=(J_n(0)+E)^k=^E+C_k¹^k-1J_n(0)+C_k²^k-2J_n²(0)+…+J_n^k(0)=

Если k>n=> J_n^k()=^E+C_k¹^k-1J_n(0)+C_k²^k-2J_n²(0)+…+ C_k^n-2^k-nJ_n^n-1(0)

A=C^-1JC

A^k=C^-1JCC^-1JCC^-1…C^-1JC=C^-1J^kC

f(x)=^_n=0 a_nxⁿ - сумма сходящегося степенного ряда. (сходиться наDR¹)

f(A) = ^_n=0 a_nAⁿ

1) Jⁿ J==D+J₀ (диагональная матрица изJ после удаления диагональных элементов)

Рассмотрим случай а

J=J_k()

f(J_k())

S>=k J_k^S()=^SE+C_S¹^S-1J_k(0)+C_S²^S-2J_k²(0)+…+ C_S^k-2^s-k+1J_k^k-1(0)=> J_k()=E+J_k(0)

f(J_k()) =^_n=0 a_nJ_kⁿ()=^_n=0 a_n(ⁿE+C_n¹^n-1J_k(0)+C_n²^n-2J_k²(0)+…+ C_n^k-2^n-k+1J_k^k-1(0))=конечное число матриц –k

E₁J_k(0)J_k²(0)…..

Бесконечную сумму запишем в конечную сумму матриц

E(^_n=0 a_nⁿ)+J_k(0)(^_n=1 a_n^n-1C_n¹)+…+J_k^k-1(0)(^_n=k-1 a_n^n-k+1C_n^k-1)

f(J_k()==

Jⁿ=, тогдаf(J)=

3. Матрица произвольная

А=С^-1JC

f(A)=C^-1f(J)C, что функция от матрицы была определена необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы входили в область определения функцииfи ее производных. Максимальный порядок производной определяется максимальным размером жордановой клетки.

Замечание: совокупность всех собственных чисел называется спектром матрицы.

f(A_x)=?, гдеxR

f(J_k()=

Применение:

J₁=a₁₁J₁+a₁₂J₂+…+a_1nJ_n линейные комбинации неизвестных функций

J`₂=a₂₁J₁+a₂₂J₂+…+a_2nJ_n

J`_n=a_n1J₁+a_n2J₂+…+a_nnJ_n

Y=A=

Y`=AY Y=e^Ax

y`=y y=e^x

Это означает, что каждый столбец матрицы e^Ax является решение системы и каждое решение системы может быть записано линейной комбинацией этой матрицы.

Эвклидовы и унитарные пространства Линейные операторы в этих пространствах

1 Определение эвклидового пространства и унитарного пространства

Матрица Грама

1. Определение: Линейное пространство E надо полем вещественных чисел (k) называется евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение каждой пары векторов<x,y>R

Свойства линейности по первому аргументу

1. Если один из векторов заменить на сумму <x₁+x₂,y>=<x₁,y>+<x₂,y>

2. Если мы умножим на число, то скалярное произведение умножиться на число <x,y>=<x,y>

3. От перестановки сомножителей произведение не меняется

4. <x,x> >= 0, <x,x> = 0 тогда и только тогда, когдаx=0

Примеры:

1. Стандартное скалярное произведение в R² иR³

2. Rⁿ, <x,y>=ⁿ_i=1x_iy_i

3. G[a,b] <f,g>=

Скалярное произведение вводит понятие близости

<x,x>=|x| - норма вектораx, норма вектора это аналог длины.

Определение:

Линейное пространство U над полем комплексных чиселC

Называется унитарным, если в нем введено скалярное произведение со следующими свойствами <x,y>С

1. Если один из векторов заменить на сумму <x₁+x₂,y>=<x₁,y>+<x₂,y>

2. Если мы умножим на число, то скалярное произведение умножиться на число <x,y>=<x,y>

3. От перестановки сомножителей произведение не меняется

4. <x,x> >= 0, <x,x> = 0 тогда и только тогда, когдаx=0

Пример:

4. 1) Сⁿ скалярное произведение <x,y>=ⁿ_i=1x_iy_i

Св-ва 1,2 верно

4>=0<x,x>=0  x=0

2) C[a,b] –r комплекснозначные функции

<f,g> =

Нормальное определение и в унитарном пространстве точки отмеченым тем же равенством.