То есть - лнз Докажем, что это максимальный Линейно независимый набор

- то есть- линейная зависимость, то есть- максимально линейно независимый набор.

3) из 1следует3

- максим. ЛНЗ

т.е.

Каждый вектор можно записать как комбинацию данных.

- линейная зависимость

тогда :

то естьx– комбинацияe

а) верно

б) докажем, что представление единое

пусть это не так и:

- ЛНЗ

то есть все

то есть представление вектораx– единственно.

4)из 3следует ()1

предположим, что - ЛЗ. , то- не все равны нулю (=0)

т.е. с другой стороны.

мы двумя способами записали 0 – это не возможно в силу (б) – т.е. лин. комбинация единственна , то есть- ЛНЗ докажем, что он максимален, при добавлении любого «x» - мы получим ЛЗ(линейную зависимость).

- из (а) тогда

не все т.е.- ЛЗ. то есть при добавленииx- он ЛЗ. т.е.

-ЛНЗ (линейно независимый).

Из 1следует2( 12), из (21), из (13), из (31), из (32) (23).

Определение: Набор элементов линейного пространства удовлетворяющий любому условию теоремы называется базисом линейного пространства. Определение: Если - базис, то по свойству3

коэффициенты этой комбинации называются координатами вектораxв базисее.

x= ()

Определение: число элементов в базисе назыв. размерностью линейного пространства.

Теорема:ЕслиL– линейное пространство и,- базисы пространстваL, тогдаn=m.

Доказательство.

Предположим, что они не равны и n>m, и то и другое базисы каждый из

e– линейная комбинацияg.

причем количество этих комбинаций >(?) число векторовe.

По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций -обязан быть линейно зависимым (ЛЗ), это противоречит определению базиса.

Определение:

Если в пространстве не существует конечного базиса, оно называется бесконечным. Если базис конечный, то пространство называется конечно мерным (конечномерное пространство).

4))

Матрица перехода. Связь между координатами вектора в разных базисах.

- старый базис,новый базис, - два базиса, базисы вL

x – вектор.

- координаты столбцовв базисе

(- матрица перехода)

§2

Подпространства. Суммы. Пересечения, фактор пространства.

1. Определение и примеры.

Определение:подпространство – это пространство лежащее внутри данного.

Пусть L– линейное пространство над полемKи в нем естьM– подмножество

, это подмножество называется подпространство если оно само

является пространством над K, относительно тех же операций.

Примеры

1)

a)- подпространство

b)- подпространство

Замечание: Для того, чтобы проверить, что множествоMявляется подмножеством достаточно проверить замкнутость этого пространстваMотносительно операций.

2. Трехмерное векторное пространство.

Подпространством является любая прямая, проходящая через начало координат и любая плоскость проходящая через начало координат.

2. Рассмотрим многочлены Р₄

- отсутствуют четные степени

- тоже подпространство отсутствует вторая степень.

2.2

Сумма и пересечения подпространств.

Определение:Lв нем два подпространстваM₁ иM₂, тогда суммойM₁ + M₂ называют множество следующего вида:

первое слагаемое из первого пространства, а второе из второго пространства.

Лемма:Сумма подпространств – это подпространство

M₁ ;M₂– подпространствоM₁ + M₂- подпространство.

Лемма:ЕслиM₁,M₂– подпространстваL, то- тоже подпространство

Пересечение – общая часть двух множеств

Замечание: иногда используют термин – собственное подмножество, которое не совпадает с нулевым и отлично от всего пространства.

Одномерное пространство – все прямые проходящие через начало координат.

Двумерное – все плоскости проходящие через начало координат.

2.3