Параграф 4 Самосопряженные операторы в евклидовых и унитарных пространствах.

1. Сопряженный оператор и его матрица.

A: E -> E (A: U->U)

<Ax , y> = <x , By>

существует линейный операторов с свойством:

<Ax , y> = <x , By>

Пусть есть ортонормированный базис

e₁, … ,e₂ <e_i , e_j>

Пусть y=_ie_i Ae_i , … , A_e^e

<Ae_i , y> = <e_i , By>

пусть есть вектор z = ₁e₁+ … +_ne_n

<e_i , z> = ₁<e_i , e₁>+ … +_i<e_i , e_i>+…+_n<e₁ , e_n> = _i<e_i , e_i>

если в равенство подставить всеe_i, то мы однозначно определяем В т.е. у –> By (?) является ли оно В линейным оператором (сумма , умножение на скаляр).

Проверить является ли у -> Ву линейным оператором.

Определение:пусть А: Е-> Е (U->U) тогда сопряженным для него оператором называется оператор А^*, который определяется следующим образом:

<Ax , y>=<x , A^*>

 x,yE(U)

Лемма:если вU или Е выбран ортонормированный базис е₁… е₂и известна матрица оператора А_е^е, тогда матрица сопряженного оператора А^*получается из А_е^е(в Е)А_е^е (вU)

Доказательство:пусть есть А_е^е=(a_ij) i – координатаj – говор??

a_ij=<Ae_j , e_i>

Пусть В-матрица А^*и ее элементы обозначим

B=(b_ij), тогдаb_ij=<А^*e_j , e_i>

A_ij=<Ae_j , e_i> = <e_j , A^*e_i>=

В Е = <А^*e_i, e_j> = b_ji

B U = - || - || - только сопряжены.

Доказать самостоятельно.

Св-ва

1. если (A^*)^*=A_e^e

2. если (AB)^*= A^*B^*

2. Самосопряженные операторы.

Определение:оператор называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным. ( A=A^* )

Из леммы, если его ортонормированый базис e₁,e₂, … ,e_n

Матрица самосопряженного оператора, она совпадает с транспонированой.

А=^tА (над Е)

А=^tA (надU)

Такие матрицы называются симетрическими, (которые дляU – эрмитова матрицы)

Пусть А: Е -> Е (U -> U)

Тогда этот опреатор является самосопряженным, тогда и только тогда, когда выполнены

Теорема о самосопряженных операторах:следующие условия:

1. его спектр вещественный (все собственные числа, вещественны)

2. собственные векторы, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.

3. Существует базис из собственных векторов.

Следствие:оператор А является самосопряженным, тогда и только тогда, когда существует ортонормированый базис в котором матрица оператора диагональна с вещественными элементами.

Доказательство

1. предположим что А – самосопряженный, тогда выполнены все 3 условия.

а) пусть А: U -> U

 - собственное число и есть собственный векторе, рассмотрим произведение:

<Ae , e> = <e , e> = <e , e> = <e , Ae> = <e , e> = e , e

т.к. оператор самосопряженный, то:

<e , e> = e , e => <e , e>()=0

<e , e> <>0, то()=0 => 

б) в Е – комплексификация.

А: Е -> Е Е_смы разрешаем в нашем случае умножение на комплексное

число.

при переходе от Е к Е_сбазис м сохранить, т.е. матрица оператора.

е₁ … е_n – базис Е, он же базис в Е_с Е_с={l₁+il₂ | l₁,l₂Е} и определить там скалярное произведение<x , y> = <x₁+ix₂ , y₁+iy₂> = <x₁ , y₁>+i<x₂ , y₁>+< x₂ , y₂>-i< x₁ , y₂> , т.е мы получилиU пространствоA_c – самосопряженный оператор в Е_су него все собственные числа вещественные по (d) то и у А – собственные числа, только вещественные.

2) Ax=x , Ay=y ()

<Ax , y> = <x , y> = <x , y> = <x , Ay> = <x , x> = <x , y>

<x , y>()=0 т.к.то <x , y>=0, т.е.x,y ортогональны.

2. существует базис из собственных векторов.

Индукция dimE=1 – очевидно.

3. пусть если dimE<=n, то существует базис из собственных векторов.

4. Пусть dimE = n+1существует собственное число (R) и следовательно существует е – собственный вектор||e||=1рассмотрим пространствоL₁=Z{e} – линейпая оболочка е,

А рассмотрим ортогональное дополнение Е=L₁^t L₁ и надо доказать, что ортогональное дополнеие инвариантно.

Доказательство:нужно доказать А(L₁^t) L₁^t

Пусть xL₁, yL₁^

<x,Ay>=<Ax,y>=<x,y>=<x,y>

т.к. xL₁, yL₁^ , <x,Ay>=0

Сужение оператора А на ортогональное дополнение

А/ L₁^ dim L₁^=n на 1 меньше чем уE и действует индукционное предположение.

А/ L₁^самосопряженный оператор на L₁^, значит там есть ортогонализованный базис из собственных векторовe₁,…,e_n

Если присоединить e, e₁,…,e_n то это будет базис всего пространства где все собственные вектора операторы и они попарно ортогональны, ч.т.д.

Следствие: 1) Если A=^tA,то существует ортогональная матрицаQ, для которой справедливо равенствоA=^tQ diag (₁,…_n)Q, где все вещественны

2) Если матрица Эрмитова А=^tA, то существует унитарная матрица U : ^tUU=E

A=^tU diag (₁,…_n)U, где все вещественны

Доказательство:

1. Поскольку матрица симметрическая т.е. А – самосопряжен.

2. В обратную сторону

Все собственные числа вещественны и существует ортогональный базис из собственных векторов e₁,…,e_n

<x,Ay>=<Ax,y>

x=₁e₁+…+_ne_n

y=₁e₁+…+_ne_n

<Ax,y>=<A(₁e₁+…+_ne_n),₁e₁+…+_ne_n>=<₁e₁+…+_ne_n,A(₁e₁+…+_ne_n)>=₁₁₁<e₁,e₁>+…+₁₁₁<e_n,e_n> - самосопряженный