Квадратичные формы

1. Определения и примеры.

Матрица квадратичной формы – это однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных

Многочлен называется однородным, если все одночлены входящие в него имеют одинаковую степень.

Описанный способ приведения квадратичной формы к диагональному виду называется методом Лагранжа (выделение наименьшего квадрата)

Пример: Q(x;y;z) = 6x²-4y²+6z²-4xz = 6(x²-4/6xz)-4y²+6z² = 6(x²-2/3xz+1/9z²)+

+16/3z²-4y² = 6(x-1/3z)²-4y²+16/3z² = 6u²-4v²+16/3w²

u = x-1/3z

v = y

w = z

1 0 –1/3

C = 0 1 0 U = CX

0 0 1

Определение: сигнатурой квадратной формы называется набор из

чисел: n₊ , n_ , n₀

где n₊ - число положительных коэффициентов в диагональном виде

n_ - отрицательных коэффициентов

n₀ – ­­­­нулевых коэффициентов

Закон инерции: при любых невырожденных заменах переменных

сигнатура квадратичной формы не меняется

Следствие: если в процессе применения метода Лагранжа на каждом шаге находится ненулевой диагональный элемент, то матрица результирующей замены переменной будет верхней треугольной с единицами на главной диагонали.

Пусть есть квадратная форма Q(x₁,x₂,..,x_n) и она двумя различными формами приведена к диагональному виду

(1) a₁y₁²+a₂y₂²+…+a_ny_n² в базисе f₁…f_n

(2) b₁z₁²+b₂z₂²+…+b_nz_n² в базисе g₁…g_n

количество положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов a и b совпадает.

Доказательство: рассмотрим пространство Rⁿ с базисом

0 x₁

0 x₂ - координаты столбца

e_i = 1 - i X = .. вектора в базисе e₁..e_n

.. ..

0 x_n

тогда квадратичную функцию можно рассматривать как функцию вектора …

Унас есть линейная замена переменных:y₁ X=C₁Y

Y = .. - сопоставим X в

y_n базисе f₁…f_n

C₁ как матрица перехода от базиса e к базису f

Пусть А – матрица Q(x₁,x₂,..,x_n) : Q(x₁,x₂,..,x_n) = ^tXAX = ^tY^tC₁AC₁Y

Координаты этого же базиса можно расматривать в третьем базисе:

g₁…g_n z₁ - сопоставляем X

Z= .. в базисе g

z_n

X = C₂Z C₂ = C_e^g - т. е. нелин. матрица – это дает возможность считать X – векором.

Предположим, что среди чисел a₁…a_k>0 следующие a_k+1…a_k+s<0, остальные числа a_k+s+1…a_n= 0, тогда рассмотрим пространство:

L₁ = Z (f₁…f_k) Q > 0: dim L₁ = k

L₂ = Z (f_k+1…f_k+s) Q < 0: dim L₂ = s

L₃ = Z (f_k+s+1…f_n) Q = 0: dim L₃ = n-k-s,

Тогда все пространство Rⁿ – это прямая сумма этих трех подпространств:

Rⁿ = L₁ + L₂ + L₃, причем на первом шаге квадратная форма положительна, на втором Q < 0 , на 3-ем Q = 0. Так же поступим с базисом g:

b₁…b_L > 0 M₁ = Z (g₁…g_L) dim M₁=l

b_L+1…b_L+f < 0 M₂ = Z (g_L+1…g_L+f) dim M₁=f

b_L+f+1…b_n = 0 M₃ = Z (g_L+f+1…g_n) dim M₁=n-f-l

рассмотрим пересечение подпространств L₁  (M₁  M₂) = {0} – это пересечение состоит из нулевого вектора:

на L₁ Q > 0

M₂Q > 0 - это означает, что M₁L₂L₃ – прямая сумма,

M₃ Q = 0 dim L₁ <= dim M₁, т. к. M₁ дополняет число до…

dim M₁ <= dim L₁ - тогда они совпадают.

Т. е. кол-во положительных коэффициентов g совпадают , для <0 рассмотрим -Q и тогда поменяем для…, нулевые коэффициенты сохраняются, т. к. дополняют сумму до пространства.