Кривые второго порядка на плоскости

Ax² + By² + 2Cy + Dx + Ey + F = 0

A C x

Q(x,y) Q(x,y) = (x,y)

C B y

Ортогональное преобразование на плоскости это поворот, следовательно, существование матрицы поворота на угола C = Cosa -Sina

Sina Cosa

^tCAC = d₁ 0 X = CU U = u

0 d₂ v

Q(x,y) = d₁u² + d₂v²; d₁u² + d₂v² + au + bu + y = 0;

1. d₁,d₂ <> 0, тогда можно выделить неполный квадрат:

d₁(u + a/2d₁)² + d₂(v + b/2d₁)² + y₁ = 0; - сдвиг при замене будет в результате поворота и сдвига ур-ние: d₁u₂² + d₂v₁² + y₁ = 0;

если d₁,d₂ > 0, y₁ < 0 – эллипс; если d₁,d₂,y₁ > 0 - нет кривой;

если d₁ < 0, d₂ >0 , то z₁²/b₁² – z₂²/b₂² = 1 – гипербола,

если d₁ или d₂ = 0- парабола: a₁(u₁ + a₁/2d₁)² + bv + y = 0.