2 Неравенство Коши-Буняковского

Теорема:скалярное произведение в Евклидовом или унитарном пространстве удовлетворяет следующему неравенству:

|<x,y>|<=||x||y||

модуль скалярного произведения не превосходит произведения нормы каждого сомножителя.

(|<x,y>|²<=<x,x><y,y>)

Доказательство:

а) Евклидово пространство

0<=<x+ty,x+ty>=<x,x+ty>+t<y,x+ty>=<x,x>+t<x,y>+t<x,y>+t²<y,y>=<x,x>+2t<x,y>+t²<y,y>

квадратный трехчлен от t>=0, когда его D<0

D/4 = (<x,y>)² - <x,y><y,y> <=0, получаем:

(<x,y>)² <= <x,x><y,y> , мы получили вторую формулировку

возможно тогда и только тогда, когда:

<x+ty,x+ty>=0  когдаx+ty,x+ty - ^B

x+ty = 0 x = -ty - колинеарны.

б) Унитарное пространство:

0<=<x+ty,x+ty> = <x,x>+t<x,y>+t<y,x>+t²<y,y> = <x,x>+t(<x,y>+<y,x>)+t²<y,y> = <x,x>+2tRe<x,y>+t²<y,y>

D/4 = (Re<x,y>)²-<x,x><y,y> <= 0

Рассмотрим скалярное произведение <x,y>=e^i|<x,y>| | e^i|

Рассмотрим вектор x₁= e^-ix, тогда

< x₁,y>=< e^-ix,y>= e^i<x,y>= e^-ie^i|<x,y>|=|<x,y>|

(*) неравенство верно для любыхx

(Re<x,y>)²<=<x₁,x₁><y,y>

<x₁,y>=|<x,y>| то следовательно

Re<x,y>=|<x,y>|

<x₁,x₁>=< e^ix ,e^ix>= e^i e^-i<x,x>=<x,x>

сопряжением

e^i - выносим

<x,y>=<>===

полулинейность по второму аргументу

|<x,y>|²<=<x,x><y,y>

для унитарного.

3 Матрица Грама и ее изменение при смене базиса.

(E,U ) e₁,e₂…e_n – базис, выберем в нем базис со скалярным произведением, это означает, что:

₁

.

x=₁e₁+…+_ne_n = (e₁…e_n)( . ) = (e)X_e

_.

_n

пусть естьy=(e)Y_e тогда их скалярное произведение

<x,y>=<_ie_i , _je_j> = (будем считать что пространствоE) =

_i<e_i , _je_j> = _i,j_i_j<e_i,e_j>

Если просранство U, тосопряженное.

Пусть:

G_e = (g_ij) g_ij=<e_{i ,} e_j>

Такая матрица называется матрицей Грама

<x,y>= ^tX_eG_eY_e в унитарном пр-веY сопряженное.

Если задана матрица Грама, то скалярное произведение вычислятся с помощью этих двух формул, при смене базиса, меняется матрица Грама.

Изменение матрицы грама при смене базиса линейного пространства.

f_n , b_n b_n – матрица перехода.

X_e=C_e^f X_f Y_e= C_e^f Y_f

E: <x,y> = ^tX_f ^tC_e^f G_eC_e^f Yf

U: - || - || - ||- || - C_e^fY_f – сопряженные.

где ^tC_e^f G_eC_e^f – новая матрица Грама. (в унитарном, C_e^f сопряженное)

4 Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы.

Опр: базис в Е или U пространстве называется ортонормированым, если выполнены соотношения:

<e_i , e_j> = _ij = {1,еслиi=j and 0, еслиi<>j}

Декартов базис например.

Пусть есть два ортонормированных базиса вЕ:

e₁…e_n

f₁…f_n

C_e^f – матрица перехода.

G_e = E_n 1…0

01..0

00..1

G_f = E_n

G_f = E_n = ^tC_e^fG_eC_e^f = ^tC_e^fC_e^f

Матрицы вида C_e^f и ^tC_e^f называются ортогональными. (в унитарном она сопряженная)

1. Матрица C_e^f невырожденна.

1) E | C_e^f | = ? |E| = 1 = | ^tC_e^f | | C_e^f | = | C_e^f |²

| C_e^f | = (+/-)1

2. U

|E|=1=| ^tC_e^f | |C_e^f | = | ^tC_e^f | |^tC_e^f | = ||C_e^f||²

|C_e^f|=1

Задача: Доказать, что матрица обратная ортогональной – ортогональна, а обратная унитарной – унитарна.

Ортогональное дополнение линейного подпространсва.

Определение:пустьL пространство со скалярным произведением, есть подпространствоMLортогональное дополнение подпространстваM (М^t) – это множество всех векторов из пространстваL которые ортогональны каждому вектору из М.

M^t = {yL| <y,x>=0 xM}

Пример:

1. L=R³ и рассмотрим плоскостьxОy, М – плоскостьxОy. Тогда ортогональное дополнение к М – это прямые параллельные OZ.

M^t = {} (к - вектор)

2. [] Z{1, cosx, sinx, … ,cosmx, sinmx} dimZ 2m+1

M=Z{1} <b,g>=

M^t = Z{cosx, sinx, … ,cosmx, sinmx}

Свойства ортогональных дополнений:

1. Ортогональное дополнение подпространства – это подпространство. М^t –подпр.

2. Пространство L – это прямая сумма любого своего подпространства и его ортогонального дополнения.

L=MM^t

1. Каждый вектор представлен в виде суммы из M иM^t.

2. Их пересечение состоит из {0}

3. Пусть x ^

e₁, e₂, … ,e_k – базис в пространствеM, тогдаx=₁e₁+₂e₂+…+_ke_k

x – перпендикулярен каждому вектору из М.

x перендикуляренyМx перендикуляренe₁, e₂, … ,e_k

<x,e_i>=0 i

<x,x> = <₁e₁+₂e₂+…+_ke_k , x> = ₁<e₁,x>+…+_k<e_k , x> = 0.

тоесть ^ = 0;

4. xL пустьe₁,…,e_n – ортонормированый базис пространства М. Построим вектор x₁ = <x,e₁>e₁+…+<x,e_k>e_k M

x = x₁+(x-x₁) = x₂ надо показать чтоx-x₁M^t т.е. х₂ортогонален нашему базисному пространству М.

<e_i , x₂> = <e_i , x-x₁> = <e_i , x> - <e_i , x₁> - <e_i , x> - <e_i ,<x_{1 ,} e₁ >e₁ +…+<x₁ , e_k>e_k> = <e_i , x> - <e_i , <x , e_i>e_i> = <e_i , x> - <e_i , x><e_i , e_i> = 0 отлично от 0 только произведение. е_i на<x , e_i>e_i

видно, что х₂ортогонален каждому е_i т.е.x₂M^t. Т.е. х представим в виде суммы один из М, другой изM^t.

3. Если M^t – это подщпространство, то мы можем у него рассмотреть ортогональное дополнение, надо доказать (M^t)^t = M, еслиLM L – конечномерное пространствоdimL < oo

Связь с ситемами Линейных Уравнений.

Пространство столбцов:

( 1 ) ( 1 )

( 0 ) ( . )

R^m e=( . ) e_i=( 1 )

( 0 ) ( 0 )

(a_k1)

M=Z{a₁, … ,a₂} a_k= (a_k2)

( . )

(a_km)

рассмотрим:

(a₁₁ a₁₂ … a_1m)

(a₂₁ … a_2m)

А= ( … )

(a_k1 … a_km)

тогда СЛУ AX=0 такая системазадает ортоганальное дополнение пространства М.

Алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта.

По данному:

a₁ … a_k – линейно независим.

Построить новый

b₁ … b₁ 1) все новые вектора попарно ортогональны<b_i , b_j>=0 [ i<>j ]

2) Z{a₁, … , a_s} = Z{b₁, … ,b_s}