Описани алгоритма

1. В качестве первого нового берем первый старый.

2. B₂ = a₂-₁₁b₁ | x b₁ усл.Z=Z выполнено

<b₁ , b₂>=0=<b₁ , a₂> - ₁₁<b₁ , b₁> , значит:

₁₁=(b₁ , a₂)/(b_{1 ,} b₁) на шаге с номеромs

b_s – новогоb_s=a_s-(_1s-1b₁+_2s-1b₂+…+_s-1b_s-1)

b_i (1<=i<=s-1)

<b_i , b_s>=0=<b_i , a_s>-_is-1<b_i , b_i>

_is-1=<b_i , a_s>/<b₁ , b_i>

1. если a₁ … a_k – линейнозависим т.е a_i – окажется линейной комбинацией построеных.

Все <b_i , a_s> окажутся = 0 и_i = 0 и мы его должны выбросить.

Если исходный набор был ЛЗ, одно из произведений <b_i , a_s> окажется нулевым. Это значит, что векторa_s – это линейная комбинация векторовa₁, … ,a_k и его надо пропустить при построении, очередной векторb=0.

2. По любому ЛНЗ набору векторов можно построить ортогональный набор векторов с той же линейной оболочкой, в частности, что по любому базису можно построить ортогональный базис, а значит и ортонормированый вектор на его длину при этом матрица перехода окажется треугольной.

Параграф 3 Операторы изометрии в евклидовых и унитарных пространствах.

1 Определение изомерии. Определение: изометрия – это отображение сохраняя углы и расстояния.

Примеры:

1. поворот плоскости вокруг оси.

(графические примеры)

Определение:изометрией в евклидовом или унитарном пространстве, называется обратимое линейное отображение, которое сохраняет значения скалярных произведений для любых двух векторов.

A: E -> E (U -> U)

1. A – линейное отображение.

2. <x , y> = <Ax , Ay> x,y гдеAx , Ay образы векторовx и y.

2 Простейшие свойства изометрии

Теорема: если А линейный оператор в евклидовом или унитарном пространстве: А: E->E (U->U) он является изометриейттогда, когда выполнено одно из следующих утверждений.

1) x <Ax , Ax> = <x , x>

2. G – матрица Грама в базисеe₁, … e_nтогдаA_e^e матрица оператора А в этом базисе, тогда должно выполняться равенство:

^tA_e^eGA=G

3. Оператор А переводит ортонормированый базис в ортонормированый.

4. Если задан ортонормированый базис е₁, … ,е_nв евклидовом пространстве, то матрица оператора удовлетворяет условию:

в Е: A^tA=E т.е. А – ортогональна.

В U ^tAA = E

Пункты 3,4 следствия из 1,2

Доказательство:

1)а)Е положим, что скалярное произведение можно выразить через скалярный квадрат:

<x+y , x+y> = <x , x+y> + <y , x+y> = <x , x> + <x , y> + <y , x> +<y , y> - <x , y> = ½(<x+y , x+y> - <x , x> - <y , y>)

если А изометрия, то очевидно.

1.  из (*) что если выполнено условие перпендикулярности, то сохраняется скалярное произведение. Нужно проверить обратимость оператора (каждый элемент имеет 1 образ и 1 прообраз, т.к. А-линейный, ио надо доказать, что KerA состоит из 0)

проверить, что KerA={0}

пусть xKerA тогда Ах=0 по определениюKer

по свойству 1:

<x , x> = <Ax , Ax>= 0 х=0 скалярный квадратx=0 , и самx=0 т.к вектор =0

б) U <x+y , y+x> = <x , x> + <y , y>+ 2Re<x , y> = Re<x , y> = ½(<x +y , y+x> - <x , x>(-?)<y , y>)

т.е. если выполняется 1, то оператор сохраняет вещественную часть скалярного произведения.

<x , y>=Re<x , y>+iIm<x , y> |*i

<ix , y>=i<x , y>=iRe<x , y>-Im<x , y>

Im сохр. Re.

Т.к. Re<x , y> -сохраняется, то и<x , y> - сохраняется и т.д.

если есть А-изометрии, то ^tA_e^eGA=G рассч Ае₁… Ае_n, т.к. А-опер изометрии, то это тоже базис, то матрицыGбазисов совпадают т.к.

<Ае_i , Ае_j >=<еi , е_j >

G₁=G₂

(Матрица Грама е₁… е_n - G₁) (Матрица Грама Ае₁… Ае_n – G₂)

при этом А_е^е – матрица оператора в базисе е

Тогда эта матрица является матрицей перехода от первого базиса ко второму.

Матрица Грама при переходе из ортогонального базиса.

G₁= G₂=^tA_e^eG₁A_e^e (UG₁ = ^tA_e^e G₁_e^e)



2. Если эти равенства верны, то сохраняются любые скалярные произведения и следовательно оператор А – оператор изометрии.