7.2 Совмещенная частотная характеристика

Обыкновенные АЧХ и ФЧХ можно объединить в одну характеристику, используя А(ω) и φ(ω) в качестве полярных координат.

На рис. 7.5 показано построение совмещенной амплитудно–фазовой характеристики (АФХ). При этом на луче, выходящем из начала координат под углом φ(ω_i), откладывается A(ω_i). На такой характеристике частота в явном виде отсутствует. Однако каждой точке на кривой соответствует определенная частота.

Амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) называют годограф, который описывает конец вектора А(ω) при изменении частоты ω от 0 до ∞. Таким образом АФХ = АЧХ + ФЧХ .

Рис. 7.5. Построение АФХ

7.3 Частотная передаточная функция

Если в передаточную функцию вместо оператора Лапласа подставить мнимую переменную Фурье , получим частотную передаточную функцию , которую называют просто частотной функцией. Ее можно представить в виде действительной и мнимой частей (компонент)

(7.3)

или в комплексной форме

, (7.4)

где – модуль частотной функции, а – ее фаза.

Покажем связь между компонентами частотной функции и амплитудно–фазовой характеристикой (АФХ). Для этого на комплексной плоскости (рис. 6) отложим действительную и мнимую части. Если полученную точку А соединить с началом координат, получим вектор , длина (модуль) которого равен , а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) – .

Таким образом

, . (7.5)

Рис. 7.6. Построение АФХ по компонентам частотной функции

7.4 Частотные функции соединений звеньев

Если известны частотные характеристики отдельных звеньев, то можно построить и частотные характеристики их соединений.

При параллельном соединении частотная функция равна сумме вещественной и мнимой частей частотных функций звеньев

+ . (7.6)

При этом векторы Аi (ω) можно графически суммировать.

При последовательном соединении следует перемножить модули и сложить фазы частотных функций

; . (7.7)

При охвате звена обратной связью результирующую частотную характеристику получают с помощью специальных номограмм.

7.5 Логарифмические частотные характеристики

При исследовании систем управления частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах по таким причинам: 1) в большинстве случаев АЧХ звеньев в логарифмических координатах можно представить отрезками прямых линий; 2) АЧХ цепочки звеньев графически суммируются.

АЧХ в логарифмических координатах строится в виде зависимости lg A от lg ω, называемой логарифмической амплитудно–частотной характеристикой (ЛАЧХ), а фазовая – в виде зависимости φ от lg ω, наз. логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

При этом за единицу масштаба частоты принимается декада – частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз.

При построении ЛАЧХ по оси ординат откладывают выходную величину L(ω), измеряемую в децибелах (дБ). Бел – единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала. Один бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.

Поскольку мощность сигнала пропорциональна А², то ее усиление в белах в логарифмических координатах равно lg A² = 2 lg A (в децибелах – 20 lg A.). Таким образом – L(ω) = 20 lg A(ω).

Соотношение A и L приведено в следующей таблице

А	0,01	0,1	0,5	1,0	1,12	1,41	2,0	3,6	10	100
L, дБ	– 40	– 20	– 6	0	1	3	6	10	20	40

При построении ЛФЧХ фаза откладывается по оси ординат в радианах или угловых градусах в обычном масштабе, т.к. фазовый сдвиг цепочки звеньев равен сумме фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях. При совместном анализе ЛАЧХ и ЛФЧХ на оси абсцисс применяют логарифмический масштаб частоты в декадах или в октавах (одна октава соответствует изменению частоты в два раза).

Отметим, что при использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая ω = 0, находится в минус  ∞, а нулю на оси абсцисс соответствует точка ω = 1 рад/с.