15.7 Стійкість імпульсних систем

Як і для безперервних систем, стійкість імпульсних систем є необхідною умовою їхньої працездатності.

Стійкість системи характеризується її вільним поводженням, а вільне поводження визначається перехідного складового процесу регулювання вихідної величини. Лінійна імпульсна система називається стійкої, якщо перехідна складова процесу регулювання yп[n,] загасає із часом.

Сформульована умова стійкості зводиться до виконання рівності

для всіх σ з інтервалу 0≤ σ < 1. Якщо хоча б для одного значення σ

то імпульсна система називається нестійкої. Якщо, нарешті,

або не існує, то імпульсна система перебуває на границі стійкості.

Упереважнійбільшості випадків величинамежі

при кожному  визначається його значенням при  = 0. У тих випадках, коли при σ= 0 виконується співвідношення (15.90), а при σ ≠ 0 - кожне зі співвідношень (15.91), (15.92) говорять про так звану високочастотну нестійкість АІС.

Таким чином, щоб оцінити стійкість системи, необхідно знайти перехідну складову процесу регулювання. Перехідна складова процесу регулювання визначається рішенням однорідного різницевого рівняння замкнутої імпульсної системи

a₀y[n,] + a₁y[n1,] + ... + a_my[nm,] = 0, (15.93)

де m - порядок системи.

Рішення однорідного різницевого рівняння при некратних коріннях характеристичного рівняння може бути записане в такий спосіб:

де z_i - корінь характеристичного рівняння

a₀ z^m + a₁ z^m-1 + ... + a_m = 0; (15.95)

C_i - постійні коефіцієнти, значення яких залежать від властивостей системи, характеру зовнішнього впливу й відносного часу .

З рішення (15.94) треба, що для стійкості імпульсної системи необхідно й досить, щоб всіх корінь характеристичного полінома замкнутої системи (полюса передатної функції замкнутої імпульсної системи Ф(z,σ) задовольняли умові

z_i< 1; i = 1, 2, ..., m. (15.96)

Якщо хоча б один корінь z_i > 1, система буде нестійкою. Значенням якого-небудь кореня z_i= 1 при всіх іншихz_i < 1 визначається границя стійкості імпульсної системи.

Графічно область стійкості імпульсної системи на площині z корінь характеристичного рівняння зображується одиничним колом (рис. 15.13).

Рис. 15.13. Області стійкості на площині Z

Таким чином, дослідження стійкості зводиться до вивчення розташування корнів характеристичного полінома замкнутої імпульсної системи щодо одиничної окружності.

Критерії стійкості використовуються для дослідження стійкості імпульсних систем без знаходження корінь характеристичного рівняння. Для імпульсних систем узагальнюються всі критерії стійкості, використовувані для дослідження безперервних систем.

Аналог критерію Рауса-Гурвица. Умови стійкості формулюються у вигляді нерівностей, що накладають обмеження на коефіцієнти характеристичного полінома замкнутої системи (табл. 15.2).

Т а б л и ц а 15.2

Умови стійкості імпульсних систем

Ступінь характеристичного рівняння	Умови стійкості
m=1	a0+a1>0, a0a1>0
m=2	a0+a1+a2>0, a0a1+a2>0, a0a2>0
m=3 і т.д.	a0+a1+a2+a3>0, a0a1+a2a3>0, a0(a0a2)a3(a3a1)>0, 3(a0+a3)a1a3>0

Складність умов стійкості різко зростає з ростом ступеня m характеристичного полінома замкнутої системи. Тому практично алгебраїчний критерій використовується при m ≤ 3.

Аналог критерію Михайлова. Для стійкості лінійної імпульсної системи m-го порядку необхідно й досить, щоб зміна аргументу функції D(e ^jT) при зміні частоти  від 0 до /T рівнялося б значенню m, тобто

 arg D (e ^jT) = m , 0 /T. (15.97)

Тут D (e ^jT) виходить шляхом заміни z на e ^jT у характеристичному поліномі замкнутої імпульсної системи

D(z) = a₀z^m + a₁ z^m-1 + ... + a_m-1z + a_m , z = e ^jT.

На рис. 15.14 наведені аналоги кривих Михайлова для стійкої й нестійкої імпульсної системи при m = 3.

Рис. 15.14. Аналоги годографів Михайлова

Аналог критерію Найквиста. Якщо розімкнута система стійка, то для стійкості замкнутої імпульсної системи потрібно, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої імпульсної системи W(e^jT) не охоплювала крапку з координатами (1, j0 ). Для стійкості замкнутої системи при нестійкому розімкнутому ланцюзі потрібно, щоб амплітудно-фазова характеристика розімкнутого ланцюга охоплювала крапку (1, j0) на кут p (проти годинникової стрілки), де p - число полюсів розімкнутого ланцюга, що лежать поза одиничним колом z = e jT.

Рис. 15.15.АФЧХ стійких імпульсних систем

На рис. 15.15 показані амплітудно-фазові частотні характеристики стійких імпульсних систем.

Для користування критеріями стійкості Гурвица й Михайлова у звичайному формулюванні відображають внутрішність кола одиничного радіуса площини z на ліву на півплощину комплексної змінної w (рис. 15.16) за допомогою конформного перетворення

Рис. 15.16. Конформне перетворення

Після підстановки z з (15.98) в (15.95) одержимо перетворене характеристичне рівняння імпульсної системи

яке приводиться до виду

Всі корні z_i рівняння (15.95), що лежать усередині одиничного кола, перейдуть у ліву напив площину w (рис. 15.16). Тому при використанні перетвореного характеристичного рівняння (15.100) для стійкості імпульсної системи необхідно й досить, щоб всі корні w_i (i = 1, 2, ..., m) мали негативні речовинні частини. Границею стійкості служить мнима вісь.

Для дослідження стійкості імпульсних систем можуть застосовуватися також логарифмічні частотні характеристики в тім же формулюванні, що й для звичайних лінійних систем.