6.8.5 Аналіз стійкості по логарифмічних частотних характеристиках

У інженерній практиці іноді аналіз стійкості проводять по логарифмічних частотних характеристиках, побудова яких простіша, ніж амплітудно-фазової характеристики. Якщо прослідкувати залежність між поведінкою АФХ розімкненої системи і логарифмічною амплітудно-частотною і логарифмічною фазочастотною характеристиками, то можна сформулювати критерій Найквіста стосовно логарифмічних частотних характеристик.

Для того, щоб система автоматичного управління була стійкою, необхідно і достатньо, щоб різниця між числом додатних і від’ємних переходів логарифмічною фазочастотною характеристикою прямих де у всіх областях, де логарифмічна амплітудно-частотна характеристика додатна, була рівна де m – число правих коренів характеристичного рівняння розімкненої системи.

Рис. 6.38Частотні характеристики: а – АФХ; б – логарифмічні частотні характеристики

На рис. 6.38наведені АФХ розімкненої системи і відповідні їй ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Аналіз частотних характеристик показує, що різниця між числом додатних і від’ємних переходів рівна нулю, тобто замкнута система буде стійка тільки в тому випадку, якщо праві корені будуть відсутні, тобто розімкнена система повинна бути стійкою.

6.9Тренувальні завдання

1 Всяка система автоматичного управління повинна працювати стійко. Під стійкістю розуміється здатність системи повертатися в первинний стан після зняття збурення, тобто при Необхідною і достатньою умовою стійкості є від’ємність дійсної частини коренів характеристичного рівняння.

А Яка система називається нейтральною?

В Чи буде система автоматичного управління стійкою, якщо корені характеристичного рівняння:

С Чи буде система автоматичного управління стійкою, якщо корені характеристичного рівняння розташовані зліва від уявної осі?

2 Для відповіді на питання про стійкість систем автоматичного управління використовуються критерії стійкості, що дозволяють судити про стійкість, не знаходячи його корені. І першою є необхідна умова, згідно якій всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатні. Наступною групою критеріїв є алгебраїчні критерії стійкості, і перш за все, це критерій Раусу і критерій Гурвіця.

А Для яких систем автоматичного управління необхідна умова стійкості є і достатньою?

В Якщо характеристичне рівняння системи

то відповідно до критерію Гурвіця ця система

а) стійка;

б) нестійка;

в) знаходиться на межі стійкості.

С Які початкові дані необхідно мати в своєму розпорядженні, щоб для дослідження стійкості можна було застосувати критерій Рауса?

3 Для дослідження стійкості широко застосовуються частотні критерії стійкості. Відповідно до критерію Міхайлова будується годограф Міхайлова, який для стійких систем повинен починатися на дійснійдодатній півосі, обходити послідовно, йдучи в нескінченність, ніде не звертаючись в нуль, n квадрантів координатної площини, де n – порядок характеристичного рівняння.

Другим частотним критерієм є критерій Найквіста, що дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по АФХ розімкненої системи, причому розімкнена система може бути стійкою, нестійкою і нейтральною, але замкнута система при виконанні певних умов може бути у всіх випадках стійкою.

А Сформулюйте критерій Найквіста для випадку, коли розімкнена система не стійка.

В Чи буде стійкою система автоматичного управління відповідно до критерію Міхайлова уявна функція Міхайлова

С Нехай розімкнена система стійка і має АФХ:

Чи буде замкнута система стійкої?